TURBOMACHINERY S1 Teknik Mesin FT-UGM

Sugiyono

06. Dinamika Fluida

Hukum-Hukum Dasar, merupakan modal yang utama untuk memahami suatu

aliran fluida. digunakan untuk menurunkan persamaan-persamaan

dasar aliran. penurunan persamaan-persamaan dasar dapat dilakukan dengan menerapkan hukum-hukum dasar pada suatu “volume kontrol” (control volume), yaitu suatu daerah tertentu di dalam ruang dimana terdapat aliran fluida yang masuk atau keluar.

Continuity Equation (Persamaan Kontinuitas)

Persamaan yang menggambarkan tentang kekekalan massa (conservation of mass) yang berlaku pada suatu aliran fluida. Jadi persamaan ini dibangun dengan menerapkan hukum kekekalan massa.

Berdasarkan prinsip kekekalan massa maka dapat dituliskan:

Di bawah ini adalah gambar dari suatu volume kontrol dimana hukum kekekalan massa akan diterapkan.

CVdtdm

dtdm

dtdm

+= 21

Secara matematis, persamaan kontinuitas dituliskan,

Jika alirannya adalah steady atau mantap maka massa fluida yang masuk pada penampang harus sama dengan massa fluida yang keluar dari penampang pada setiap saat sehingga laju perubahan massa di dalam control volume = 0

0 dtdm

CV

=

dt

dm dt

dm 21 = m m 21 =

Sehingga persamaan kontinuitas menjadi :

atau

Q ρ Qρ 2211 =

222111 A V ρ A Vρ =

m

Persamaan tersebut dapat dituliskan ulang sebagai berikut:

atau

Dimana : = laju aliran massa fluida

ρ = massa jenis rata-rata fluida Q = kapasitas aliran atau debit aliran (laju aliran volumetrik) A = luas penampang laluan V = kecepatan rata-rata aliran fluida

Jika fluida yang mengalir adalah inkompresibel (ρ = konstan) maka persamaan kontinuitas untuk aliran steady adalah,

21 Q Q = atau 2211 A V AV =

Persamaan Euler

Merupakan salah satu persamaan yang menggambarkan tentang pergerakan fluida. Penurunan persamaan Euler dapat dilakukan dengan menerapkan hukum kedua Newton tentang gerak (Newton’s second law of motion) pada suatu elemen fluida yang sedang bergerak.

Persamaan di atas sering juga disebut dengan “persamaan momentum” (untuk komponen x)

Hukum Newton kedua tentang gerak untuk gerakan suatu elemen fluida dalam arah–x dapat dituliskan sebagai berikut:

Misalkan, ditinjau suatu elemen fluida yang berbentuk “stream tube” dengan luas penampang dA dan panjang ds sedang bergerak mengikuti suatu garis aliran s, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut :

Dalam pendekatan kali ini, Stream tube dianggap sebagai volume kontrol, yang selanjutnya pada volume kontrol tersebut diterapkan persamaan momentum untuk komponen s.

Gaya-gaya yang bekerja terhadap volume kontrol dalam arah s.

Laju perubahan momentum volume kontrol dalam arah s.

dimana, v = komponen kecepatan dalam arah–s

Substitusikan masing-masing persamaan di atas ke dalam persamaan momentum, kemudian bagi dengan (ρ dA ds), dimana dA = π r 2 maka akan diperoleh persamaan umum dari dinamika aliran fluida dalam arah–s sebagai berikut:

021 sv v

tv

r

ρ

sz g

sP

ρτ

=∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

atau

02

21 2

v s

tv

r

ρτ

sz g

sP

ρ=

∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

Aliran unsteady → tv 0≠∂∂

a). Untuk fluida viscous → τ ≠ 0 maka,

02

21 2

v s

tv

r

ρτ

sz g

sP

ρ=

∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

b). Untuk fluida invicid → τ = 0 maka,

02

1 2

v s

tv

sz g

sP

ρ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

Hal-hal Khusus:

Aliran Steady → tv 0=∂∂

02

21 2

v s

r

ρτ

sz g

sP

ρ=

∂∂

++∂∂

+∂∂

02

1 2

v s

sz g

sP

ρ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

Persamaan dinamika aliran steady untuk fluida invicid tersebut di atas dinamakan dengan “Persamaan Euler”.

a). Untuk fluida viscous → τ ≠ 0 maka,

b). Untuk fluida invicid → τ = 0 maka,

Diferensial-diferensial parsial yang muncul di dalam persamaan dapat diganti dengan diferensial-diferensial total, karena s merupakan satu-satunya variabel bebas di dalam persamaan tersebut,

02

1 2

v dsd

dsdz g

dsdP

ρ=++

Kemudian dikalikan dengan ds maka Persamaan Euler akan menjadi :

02

2

v d g dz ρ

dP =++

Persamaan ini dapat diintegrasikan jika ρ adalah konstan atau merupakan fungsi dari P.

Persamaan Bernoulli

Merupakan persamaan yang diperoleh dari hasil pengintegrasian terhadap Persamaan Euler, dimana fluida yang mengalir dalam hal ini adalah fluida inkompresibel (ρ = konstan).

Persamaan Bernoulli adalah persamaan dinamika aliran steady untuk fluida invicid dan inkompresibel. Persamaan Bernoulli dituliskan sebagai berikut:

konstan2

2

v g z ρP =++

“Konstanta Bernoulli”

Pengintegrasian terhadap Persamaan Euler akan menghasilkan suatu konstanta integrasi, yang kemudian konstanta ini disebut dengan “Konstanta Bernoulli”.

Konstanta Bernoulli umumnya akan berubah dari satu garis aliran ke garis aliran lainnya, tetapi akan tetap konstan di sepanjang suatu garis aliran dalam suatu aliran steady dari fluida invicid dan inkompresibel.

(P/ρ) = flow energy per satuan massa

(g z) = energi potensial per satuan massa

(v2/2) = energi kinetik per satuan massa

konstan2

2

v g z ρP =++

dimana,

Suku-suku dalam Persamaan Bernoulli dapat ditafsirkan sebagai suatu bentuk energi per satuan massa.

Jika Persamaan Bernoulli di atas dibagi dengan percepatan gravitasi (g) maka akan diperoleh:

konstan2

2

g

v z γP =++

Suku-suku dalam persamaan diatas dapat ditafsirkan sebagai suatu bentuk energi per satuan berat, yang kemudian diistilahkan “head”

(P/γ) disebut pressure head

( z) disebut elevation atau potential head

(v2/2g) disebut velocity head

konstan2

2

g

v z γP =++

Static head Dynamic head

Penerapan persamaan Bernoulli pada dua titik (titik dan titik ) pada suatu garis aliran dapat dituliskan sebagai berikut:

gv z

γP

gv z

γP

22

22

22

21

11 ++=++

atau,

( ) 02

22

21

2121

g v v z z

γ P P =

−+−+−

Jika streamline yang dianalisis adalah horisontal (z1 = z2) maka Persamaan Bernoulli menjadi,

gv

γP

gv

γP

22

222

211 +=+

Dikalikan γ maka persamaan di atas menjadi,

2

2 2

22

21

1v P v P ρρ +=+

2

2 2

22

21

1v P v P ρρ +=+

Persamaan di atas menyatakan bahwa total pressure di titik sama dengan total pressure di titik .

tP v

P 2

2

=+ρ

Static pressure Dynamic pressure Total pressure

Exchange between pressure head and velocity head

Aplikasi Persamaan Bernoulli pada suatu aliran fluida dalam sebuah pipa ditunjukkan pada gambar disamping. Asumsikan z1 = z2 maka Persamaan Bernoulli dituliskan menjadi,

Dari persamaan kontinuitas didapat :

Saat A1 > A2 maka v1 < v2 dan P1 > P2 atau dapat dikatakan bahwa saat salurannya mengecil (saat streamlines menjadi rapat), maka kecepatan alirannya menjadi tinggi dan pressure head-nya menjadi rendah.

Hydraulic grade line and energy grade line

konstan2

2

H g

v z γP ==++

Penjumlahan ketiga head tersebut di atas sering dinamakan sebagai “head total fluida (H) ”, yaitu energi total yang terkandung di dalam fluida (available energy) per satuan berat fluida, atau sering juga dinamakan “Energy Grade Line (EGL) ”.

Penjumlahan pressure head dan elevation head sering disebut dengan “Hydraulic Grade Line (HGL) ”.