02 moment curvature

35

Click here to load reader

Upload: beytullah-benzer

Post on 23-Oct-2014

189 views

Category:

Documents


13 download

TRANSCRIPT

Page 1: 02 Moment Curvature

SAKARYA ÜNİVERSİTESİSAKARYA ÜNİVERSİTESİFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDDepartment of Civil Engineering Department of Civil Engineering

İNM 519 PERFORMANSA DAYALI DEPREM MÜHENDİSLİĞİİNM 519 PERFORMANSA DAYALI DEPREM MÜHENDİSLİĞİ

Malzeme DavranışıMalzeme DavranışıMOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİMOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİ

Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS

[email protected] Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yapı Anabilim Dalı

17.02.2010 DR.MUSTAFA KUTANİS SLIDE 1

Sağlanması Gerekli Koşullar

KARARLILIK (Stabilite)DAYANIM (Strength)( g )

Yeterli dayanımdan amaç, öncelikle taşıyıcı sistem elemanları, kendilerine etkiyen yük, yada yük etkileri nedeniyle oluşan kesit tesirlerini (M N V ve M ) göçmeden (taşıma gücükesit tesirlerini (M, N, V ve Mt) göçmeden (taşıma gücü aşılmadan) taşıyabilmesidir.

SÜNEKLİK (Ductility)( y)Taşıma gücünde azalma olmadan, enerji tüketebilmeyeteneğidir. (Malzeme-kesit; Eleman; Sistem)

Ğİ İ İ İ İSINIRLI YER DEĞİŞTİRME (Drift); RİJİTLİK (Stiffness)P-Δ etkisi (→ikinci mertebe momentleri) nedeniyle yapısal olmayan hasarın (kullanılabilirlik ) artması ve stabilite

02.2010

olmayan hasarın (kullanılabilirlik ) artması ve stabilite probleminin ortaya çıkması

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 2

Page 2: 02 Moment Curvature

STABİLİTE - KARARLILIK

A B C

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 3

Dayanım (Strength)

Malzemenin mukavemeti, genellikle akma mukavemeti, σy (fy) olarak tanımlanır.

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 4

Page 3: 02 Moment Curvature

Malzemenin Rijitliği (Stiffness)

Malzemenin rijitliği elastisite modülü (E) ile ifade edilir E gerilmenin birim

02.2010

Malzemenin rijitliği elastisite modülü (E) ile ifade edilir. E, gerilmenin birim şekildeğiştirmeye oranıdır.

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 5

Elemanve Sistemin Rijitliği

∆∆

Eleman riğitliği ise elemana uygulanabilen maksimum yükün, bu yük altında yapacağı deplasmanın oranına

P: Servis yükü

∆ : Max deplasmany p ğ p

eşittir. k: eleman rijitliği

uvve

t Rijit

02.2010

Ku

Esnek

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 6

Yerdeğiştirme

Page 4: 02 Moment Curvature

K, rijitlik (stiffness)

Lineer elastik rijitlik

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 7

Daha kuvvetli, daha rijit?

daha kuvvetlikuvvetli

daha sert rijitdaha sert, rijit

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 8

Page 5: 02 Moment Curvature

Sınırlı Yer Değiştirme

Süneklik (elastik ötesi deformasyon).... Nereye kadar?Fazla sünek→ P-Δ etkileri + Stabilite problemip

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 9

Süneklik (1/2)

sσ Birim deformasyon sünekliği M

φ

Birim eğrilik sünekliği

sε1.0u

εμε

= >φ

1.0u

φμφ

= >

yε uεs

yφ uφ

KesitMalzeme

F Ş kil d ği ti ü kliği

KesitMalzeme

F

1 0uμ Δ= >

Şekil değiştirme sünekliği

02.2010

yΔ uΔΔ

1.0y

μΔ = >Δ

Sistem

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 10

y u Sistem

Page 6: 02 Moment Curvature

Süneklik (2/2)

Süneklik, taşıma gücünde önemli bir azalma olmadan enerji tüketebilme yeteneğidir. Yönetmeliğimizde, yapı elemanlarının sünek davranarak yeterli enerjiyi tüketebilecekleri varsayımı ile kestirilen depremyeterli enerjiyi tüketebilecekleri varsayımı ile, kestirilen deprem kuvvetleri R katsayıları ile azaltılmaktadır. Bu nedenle Yönetmelikteki kuvvetler kullanılarak yapılan bir tasarımda süneklik mutlaka ğl l d Sü klik ğl d ğ t kdi d ö t likt ki ü kliksağlanmalıdır. Süneklik sağlanmadığı takdirde yönetmelikteki süneklik

düzeyi "normal sistemler" temel alınmalı ve R katsayısı yarı yarıya azaltılmalıdır.

Sünekliğin sağlanabilmesi için aşağıdaki koşullara dikkat edilmelidir.Ki i k l l k k l t i l l l l dKiriş ve kolon uçları sık ve kapalı etriyelerle sarılmalıdır.Yönetmelikteki kenetlenme ve bindirme boylarına uyulmalıdır.Kiriş ve kolonlarda kapasite dizaynı yapılarak kesme kırılması

02.2010

Kiriş ve kolonlarda kapasite dizaynı yapılarak kesme kırılması önlenmelidir.Yönetmelikte öngörülen donatı sınırlarına ve detaylarına uyulmalıdır.

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 11

Önemli !

Depremlerde yapı sistemlerinin ayakta kalabilmelerinin ön koşulu yeterli enerji tüketebilmelerine bağlıdır.koşulu yeterli enerji tüketebilmelerine bağlıdır.

Enerji tüketimi → sünekliğe;

süneklik ise → sargı etkisine bağlıdır.

Bu anlamda, eleman uçlarında sargı donatısı kullanılmasıBu anlamda, eleman uçlarında sargı donatısı kullanılması yaşamsal açıdan çok önemlidir!

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 12

Page 7: 02 Moment Curvature

TDY-2007’de Depreme Karşı Yapısal Davranışta Taşıyıcı Sistem Özelliklerinin Davranışa EtkileriTaşıyıcı Sistem Özelliklerinin Davranışa Etkileri

RİJİTLİKRİJİTLİK DAYANIMDAYANIM SÜNEKLİKSÜNEKLİK

•Hafif ve orta şiddetteki depremler altında yanal ötelenmeler kalıcı

•Hafif ve orta şiddet depremlerde dayanım genelde aşılmamalıdır

•Ağır şiddet deprem altında dayanım mühendislik tecrübelerine göre önceden

(plastikleşme) ve büyük olmamalıdır

•Şiddetli deprem altında ö iji iği

•Bölgesel olarak dayanım aşılmaları, bölgesel olduğu için tolere edilebilir.

belirlenen noktalarda aşılabilir

•Ve plastik mafsal oluşabilirötelenme rijitliği küçülebilmelidir

•Yapının hakim doğal i d bü ü bil lidi

•Bu plastik mafsallar içinde yoğun elastik ötesi şekil değiştirmeler oluşur (SÜNEKLİK)

malzeme)

Beton(Gevrek

malzeme) malzeme)

Çelik(Sünek

malzeme)periyodu büyüyebilmelidir

•Sismik dalgaların ürettiği kuvvetlerin yapı üzerindeki

ki i l l d

(SÜNEKLİK)

•Ve dolayısiyle Rijitlik azalır

•Yapı periyodu büyür

)) ))

Betonarme(Sünek kompozit

02.2010

etkisi azalmalıdırYapı periyodu büyür

•Yapı üzerine aldığı sismik kuvvetleri işe çevirerekdeprem enerjisini azaltır.

malzeme)malzeme)

Dayanım

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 13

deprem enerjisini azaltır.

R/γm .FR>F

R/γm=γf.F

YAPI MEKANİĞİ GENEL

Herhangibir mekanik probleminin çözümünde izlenen yol üç aşamada özetlenebilir ; (a) Denge koşullarının sağlanması [denge denklemleri kuvvet(a) Denge koşullarının sağlanması, [denge denklemleri kuvvet

veya gerilme cinsinden yazılır](b) Uygunluk koşullarının sağlanması [şekil değiştirme

cinsinden yazılır] ve (c) Malzeme veya malzemeler için σ-ε ilişkilerinin

belirlenmesi, [kuvvet- Şekil değiştirme veya Gerilme-Şekilbelirlenmesi, [kuvvet Şekil değiştirme veya Gerilme Şekil değiştirme ilişkileri yazılır ]

İlk iki aşama malzeme özelliklerinden bağımsızdır. Betonarme problemlerini diğer malzeme problemlerindenBetonarme problemlerini diğer malzeme problemlerinden değişik kılan, son aşama olan (c) dir.Bu aşamada, betonarmeyi oluşturan çelik ve betonun

il bi i d f ö llikl i i b li l i

02.2010

gerilme-birim deformasyon özelliklerinin belirlenmesi gerekir. Bu belirleme, çelik için oldukça kolay olmasına karşın, beton için oldukça zordur.

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 14

ş ç ç

Page 8: 02 Moment Curvature

Gerilme-Şekil değiştirme

Betonun σ-ε bağıntılarının etkileyen faktörler:

1 Beton dayanımı1. Beton dayanımı2. Yükün türü ve uygulama hızı3. Kesit geometrisi4. Sargı etkisi5. Yük geçmişi

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 15

Betonarmenin Davranışı

Betonun çekme dayanımı çok düşük olduğundan, bu dayanımın ihmal edilmesi önemli bir hata getirmez. Betonarme elemanlarda oluşan çekme gerilmeleri, bu bölgelere yerleştirilen çelik çubuklarla karşılanır.

Betonarme elemanların basınç bölgesindeki gerilme dağılımının, eksenel basınç altında denenen numunelerden ğ , çelde edilen σ-ε eğrisine benzediğini varsaymak, doğru bir yaklaşım olur. Yapılan çok sayıda deney, bu varsayımın doğruluğunu kanıtlamıştırdoğruluğunu kanıtlamıştır.

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 16

Page 9: 02 Moment Curvature

MomentMoment--Eğrilik ilişkisiEğrilik ilişkisi

Eğilme ve Eğilme ve ekseneleksenel yükyük veya yalnız eğilmeyalnız eğilme altındaki bir kesitin davranışı, en sağlıklı bir biçimde, gerçek malzeme davranışını temel alarak hesaplanmış veya deneysel verilerden elde edilmiş, "Moment-Eğrilik" eğrilerinden izlenebilirizlenebilir. M- Φ eğrisi “davranışı” çok açık bir biçimde gösterir.Da an m e kesitin dönme kapasitesini beli leDayanımı ve kesitin dönme kapasitesini belirler.İki kez entegre edilirse gerçekçi deformasyon elde edilir.

Moment-eğrilik ilişkisi çıkarılırken malzeme modellerinin olabildiğince gerçekçi olması büyük önem taşır

02.2010

olabildiğince gerçekçi olması büyük önem taşır.

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 17

Malzeme Modelleri

Moment-eğrilik ilişkisi çıkarılırken malzeme modellerinin olabildiğınce gerçekçi olması büyük önem taşır.

1. Çelik modeli

a. Elasto-plastik

b. Elasto-plastik ve pekleşme

2. Beton modelleri

a. Sargısız (kabuk)

b. Sargılı (çekirdek)g (ç )

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 18

Page 10: 02 Moment Curvature

BETON MODELLERİ

Betonun σσ--εε ilişkisini birçok değişken etkilediğinden, tek ve kesin bir σσ--εε eğrisi önermek zordur

SARGILI BETON MODELLERİONLARCA MODEL VAR EN YAYGIN KULLANILANLAR:

1-SAATÇIOĞLU VE RAZVİ

2-GELİŞTİRİLMİŞ KENT VE PARK

3- SHEIKH VE ÜZÜMERİ

4- MANDER

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 19

Beton Modelleri

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 20

Page 11: 02 Moment Curvature

TDY 2007 Beton Modeli (Mander)

εc = Beton basınç birim şekildeğiştirmesi εcu = Sargılı betondaki maksimum basınç birim şekildeğiştirmesi

fc = Sargılı betonda beton basınç gerilmesi f S l b t dfcc = Sargılı beton dayanımı fco = Sargısız betonun basınç dayanımı

Pa

ress

, MP

02.2010

Strain

Str

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 21

Strain

Effect of Confinement and Detailing of Confining ReinforcementConfining Reinforcement

/D 0 24Dc

sh/Dc = 0.24

004

ρs = 1.7%D’c

x

-εc

= 0

.0

sh/Dc = 0.24

ρs = 1.7%

1x1

sh/Dc = 0.48ρs = 0.85%

A @ sA

0 0.02 0.04

-εc

00 0.02 0.04 0.06

-εc

0

Ab @ shAcc

Volumetric ratio:εcεc

bs '

h c

4 Aρ =

s D

Seismic Design p. 22 of Set 3

Page 12: 02 Moment Curvature

TDY 2007 Çelik Modeli

fs = Donatı çeliğindeki gerilme s ç ğ gfsy = Donatı çeliğinin akma dayanımı fsu = Donatı çeliğinin kopma dayanımı

εsy = Donatı çeliğinin akma anındaki birim şekildeğiştirmesi εsh = Donatı çeliğininin pekleşme anındaki birim şekildeğiştirmesi ε = Donatı çeliğinin kopma anındaki birim şekildeğiştirmesi

02.2010

εsu = Donatı çeliğinin kopma anındaki birim şekildeğiştirmesi

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 23

Material Behavior – Steel Reinforcement

ss f y

O t f k h d i

Ultimate tensile point

f su

Te

ns

ile s

tre

s Onset of work hardening

Yield or Lüders plateau

Reinfocing bar in tensionE s

0.00 0.05 0.10 0.15

Tensile strain

ε y ε sh ε su

str

es

s

f y

Closely restrained bar Mirroed tensile

stress-strain response

Co

mp

res

siv

e s

Loosely restrained bar

Seismic Design p. 24 of Set 30.00 0.05 0.10 0.15

Compressive strain

Reinfocing bar in compression

Page 13: 02 Moment Curvature

Moment-Eğrilik (M- Φ) İlişkisi

Eğrilik birim dönme açısı (birim boya gelen dönme miktarı) ‘dır. Eğrilik, Şekil’de gösterildiği gibi, iki kesit arasındaki dönme açısı farkından veya doğrudan kesitteki birim deformasyondan yararlanarak hesaplanabilir:

a) Beton ve çelik için gerçekçi (σ-ε) ilişkileri kullanılmalıdır.

b) Birim deformasyon dağılımının doğrusal olduğu varsayılır.

1. εci için bir değer al

2. Tarafsız ekseni kuvvet dengesi sağlanıncaya kadar değiştir

3. Kuvvetlerin dengesi sağlandığında ağırlık merkezine göre i h l “ ”

02.2010

momenti hesapla, “M”

4. “K” yı hesapla,

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 25

Birim Deformasyon

ρ

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 26

Page 14: 02 Moment Curvature

Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 27

Eleman Şekil Değiştirme Geçmişi

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 28

Page 15: 02 Moment Curvature

Strain-limit States for Concrete (4)

Ci.) Concrete tensile strain

(+) (-)εct

( ) (-)

εct = εcr

Consequence: onset of crackingAction: None, cracks will be nearly invisible upon unloadingb upo u oad g

Seismic Design p. 29 of Set 3

Strain-limit States for Concrete

Cii.) Onset of Concrete Cover Spalling

(+)

(-) εc

εc = -0.004

Consequence: incipient spalling of the concrete coverconcrete coverAction: None

Seismic Design p. 30 of Set 3

Page 16: 02 Moment Curvature

Strain-limit States for Concrete

Ciii.) Deep Concrete Cover Spalling

(+)

(-)Long. bar

εc = -0.004 εc

Consequence: extensive spalling of the concrete cover exposes the reinforcement

Action: Essentially cosmetic damage but repair work shall take place to protect the reinforcement from corrosion & fire

Seismic Design p. 31 of Set 3

Strain-limit States for Concrete

Civ) Crushing of Confined Concrete Core

Long bar(+)

(-)

Long. bar

Consequences: after long bar buckling or

εc

Consequences: after long. bar buckling or hoop fracture. Beginning of rapid loss of flexural capacity. End of displacement capacity.

Action: extensive repairs (jacketing) or even element demolition considered

Seismic Design p. 32 of Set 3

Page 17: 02 Moment Curvature

Strain-limit States for Concrete

Ci ) C hi f C fi d C t C ( t )Civ) Crushing of Confined Concrete Core (cont.)

( )0.004 2 in rectangular columnsε ε ρ ρ= = − +c cu sx sy

ρsx = geometrical reinforcement ratio of confining reinforcement in X-direction= Asty / (sh h’x) h’x = avg. distance between confining reinf. legs Xsty ( h x) x g g g

ρsy = geometrical reinforcement ratio of confining reinforcement in Y-direction= Astx / (sh hy) h’y = avg. distance between confining reinf. legs y

ρ = volumetric confinement ratio

( )0.004 in circular columnsε ε ρ= = − +c cu s

ρs = volumetric confinement ratio= ρsx + ρsy

( )0.00 c cu a co u sε ε ρc cu s

ρs = volumetric reinforcement ratio= 4Ab / (sh hx)

Seismic Design p. 33 of Set 3

b ( h x)

Defintions

hy Astx

Asty

stx

yx

hx

Seismic Design p. 34 of Set 3

Page 18: 02 Moment Curvature

Strain-limit States for the Longitudinal Reinforcement (4)Reinforcement (4)

Si.) First yieldεs

(+)

(-)ε = εεs εy

Consequences: outermost bar in tension yields. Residual cracks will remain small (hairline cracks).( )

Action: no action in a non-aggressive environment. Consider epoxying crack in marine or other aggressive environments

Seismic Design p. 35 of Set 3

marine or other aggressive environments.

Strain-limits for Longitudinal Reinforcement

Sii.) Tensile Strain in Outermost Long. Bar = 1%

ε

) g

(+)

( )

εs

(-)εs = 1%

Consequences: Residual cracks likely to remain large (greater than 0 8 mm wide)large (greater than 0.8 mm wide)

Action: Consider epoxying cracks.

Seismic Design p. 36 of Set 3

Page 19: 02 Moment Curvature

Strain-limits for Longitudinal Reinforcement

Siii.) Onset of Long. Bar Bucklingεc 10 hs

−(-)

(+)

φ−φ10

100b

s c

dε ε−

− ≥(+)

εs

sh = hoop spacingdb = long. bar diameter

Consequences: no visible consequences

Action: no action in a non-aggressive

b

Action: no action in a non-aggressive environment. Consider epoxying cracks in marine or other aggressive environments.

Seismic Design p. 37 of Set 3

Strain-limits for Longitudinal Reinforcement

Siv.) Longitudinal Bar Fracture

εcφ−φ

Siv.) Longitudinal Bar Fracture

(-)

(+)

φφ4

143

0.004100 2

h

b sus c c

s

dand

εε ε ε−

− = ≤ ≤ −

εs

100 2s c c

sh = hoop spacing

Consequences: decrease of flexural capacity. End of displacement capacity.

db = long. bar diameter

Action: consider extensive repairs or even demolition

Seismic Design p. 38 of Set 3

Page 20: 02 Moment Curvature

Strain-limit States for the Longitudinal ReinforcementReinforcement

Siv) Longitudinal Bar Fracture (cont.)

Microcrackc oc ac

Seismic Design p. 39 of Set 3

Seismic Design p. 40 of Set 3

Page 21: 02 Moment Curvature

Structural Damage Limit-states

DS1DS1: no actionDS1DS1: no action

DS2DS2: repairs needed some o no downtime

DS3DS3: life safety, extensive repairs might be needed

DS1

ci

DS2

ciii

DS3

civ

Ci.) Concrete tensile strainCii.) Onset of Concrete Cover Spalling Ciii.) Deep Concrete Cover Spalling Civ) Crushing of Confined Concrete Core

cicii

si

ciii

siii

civ

siv Si.) First yield sisii

siii sivSii.) Tensile Strain in Outermost Long. Bar = 1%Siii.) Onset of Long. Bar Buckling Siv.) Longitudinal Bar Fracture

Seismic Design p. 41 of Set 3

Idealization of the M-Φ relationship

Probable/Nominal moment (εc= -0.004) Mo

Flexural overstrength

t, M Ec It First yield

Mo

men

Mcr

1

First yield

Curvature, φ 0

0 Ultimate curvature

φuφ’y φy

Seismic Design p. 42 of Set 3

Reference yield curvature

Page 22: 02 Moment Curvature

D Li it t t Id li dDamage Limit-states on an Idealized M- Φ relationship

cii ciii siv

t, M si

siisiii

Mo

men

ci

civ not attained

Curvature, φ 0

0 Ultimate curvature

φu

Seismic Design p. 43 of Set 3

C, ρ=0.0274, S420-a

B, ρ=0.0077, S420-b

A, ρ=0.0077, S420-a

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 44

Page 23: 02 Moment Curvature

EKSENEL YÜK

Moment Curvature

300

350

N=0 kN

N 100kN

200

250

kN

-m

N=100kN

N=500kN

N=1000kN

150

200

Mo

me

nt

k

50

100M

02.2010 0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

C t d/

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 45

Curvature rad/m

Eksenel Yük Düzeyi

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 46

Page 24: 02 Moment Curvature

PLASTİK MAFSAL KAVRAMI

Eğilme elemanlarında ve eksenel yük düzeyi düşük kolonlarda, yeterli sargı etkisi varsa, çekme donatısı aktıktan sonra moment hemen hemen sabit kalırken, eğrilikte büyük artmalar gözlenir.

ih l dili (k ik i i) k i i biMoment artışı ihmal edilirse (kesik çizgi) kesitin sabit moment altında döndüğü söylenebilir. Buna plastik mafsal denirdenir.

Klasik mafsal farkı:Klasik mafsal farkı:Klasik mafsal: M =0Klasik mafsal: Mi=0

Klasik mafsal: Mi=Mpi

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 47

Plastik Mafsal KavramıPlastic Hinge ConceptPlastic Hinge Concept

Plastically deformed reinforced concrete frame beam-column joint component forming a beam sidesway mechanism

Seismic DesignFlexural plastic hinges

Page 25: 02 Moment Curvature

Plastic Hinge Concept

Seismic Design p. 49 of Set 2

Plastic Hinge Concept

M / M

Measured curvature distributionNormalized bending moment

My / Mn1

M / M

0 0.76 1.041

Seismic Design p. 50 of Set 2

M / Mn

Page 26: 02 Moment Curvature

Pl i Hi CPlastic Hinge Concept

2 5

2

2.5

D

D = 914 mm

1.5

um

n b

ase

/ D

1

ce f

rom

co

lu Actual curvature distribution

Idealized distribution

0.5Dis

tan

c

l ( E i l t l ti

0

0 0.025 0.05 0.075 0.1

φ D

φ y φ y + φ p

l p ( Equivalent plastic

hinge length)

Seismic Design p. 51 of Set 2

φ x D

PLASTİK MAFSAL

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 52

Page 27: 02 Moment Curvature

Plastik Mafsal Türleri (1)

Kolon ve Kirişlerin Elastikötesi Davranış ModeliKolon ve Kirişlerin Elastikötesi Davranış ModeliFiber Model:Fiber Model: Eleman kesidi çok küçük alanlara (fiber) ç ç ( )

bölünür. Her bir fiberin, tek eksenli gerilmelere maruz kaldığı ve elemanın histeretik gerilme-birim şekildeğiştirme ö llikl i i ğ k b l diliözelliklerini yansıttığı kabul edilir.

Hassas çözümler elde edilebilir; ancak hesaplama zamanı nuzun.

Kesit Modeli:Kesit Modeli: Elastikötesi davranış, herbir fiber için ayrı ayrı değil kesitin bütünü için düşünülürdeğil, kesitin bütünü için düşünülür.

02.2010 Referans: Chen, Paul Fu-Song, Powell, Graham H. “Generalized Plastic Hinge

Concepts for 3D Beam-Column Elements”, Report No. UCB/EERC-82/20,

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 53

November 1982, Berkeley, California.

Plastik Mafsal Türleri (2)

Kesit modelinin, yapı elemanı elastik ötesi davranışının modellenmesinde, iki farklı kullanım yaklaşımı vardır:

“Yayılı Plastik” (distributed plasticity)“Yayılı Plastik” (distributed plasticity)Akmanın eleman boyunca gerçekleştiği varsayılır Belirli kesitlerdeAkmanın eleman boyunca gerçekleştiği varsayılır. Belirli kesitlerde

moment-eğrilik hesaplanarak birim şekildeğiştirmeler hesaplanır.

02.2010

Plastic zones

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 54

Page 28: 02 Moment Curvature

Plastik Mafsal Türleri (3)

Yoğunlaştırılmış (lumped) plastik mafsal (Plastic Hinge)Yoğunlaştırılmış (lumped) plastik mafsal (Plastic Hinge)Akmanın oluştuğu varsayılır. Lineer olmayan eğilme ve uzama Lineer olmayan eğilme ve uzama

kild ği ti l i ikild ği ti l i i l tik k it d il 0 l ğ d ki t k bişekildeğiştirmelerininşekildeğiştirmelerinin plastik kesit adı verilen 0m uzunluğundaki tek bir noktada toplandığı, bu kesitler dışındaki bölgelerde ve kesme kuvveti etkisi altında sistemin lineerlineer--elastik davrandığıelastik davrandığı varsayımı yapılmıştır.

02.2010 Plastic hingeElastic Elastic

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 55

Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 56

Φy Φu Φ

Page 29: 02 Moment Curvature

Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)

Bileşik eğilme altındaki bir kesitin M-Φ ilişkisi kesitteki eksenel yük düzeyine göre değişir. Şekil de bileşik eğilme altındaki bir kesitin yüksek ve çok düşük düzeyde eksenel yükler altındaki moment-eğrilik ili kil i ö il i iilişkileri gösterilmiştir.Şekildeki A eğrisi,eksenel yükün büyük, ğB eğrisi ise, eksenel yükün çok düşük düzeyde (sıfıra yakın)

olduğu durumlar için geçerlidir.H t l ğ ibi ü klik ük t k it i dHatırlanacağı gibi süneklik, yük taşıma kapasitesinde düşme olmadan, kesitin büyük deformasyon yapabilme özelliğidir

02.2010

özelliğidir

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 57

Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)

Bu durumda A eğrisi gevrek, B eğrisi ise sünek bir davranışı simgelemektedir. Deprem mühendisliğinde kesit sünekliği, genellikle "süneklik katsayısı“ ile ifade edilir. Süneklik katsayısı, kırılma anındaki eğriliğin, akma

d ki ğ iliğ l k l öanındaki eğriliğe oranı olarak tanımlanır. Buna göre, B eğrisi ile elde edilen "süneklik katsayısı“:

y

u

ΦΦ

02.2010

y

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 58

Page 30: 02 Moment Curvature

Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)

M-Φ eğrisi altında kalan alan da, kesitin enerji yutma kapasitesini gösterir. Bu durumda, sünek davranışı simgeleyen B eğrisi ile tüketilen enerjinin gevrek davranışı simgeleyen A eğrisinden çok daha büyükenerjinin, gevrek davranışı simgeleyen A eğrisinden çok daha büyük olduğu açıktır. Bu nedenle, deprem gibi enerji yutma kapasitesinin çok önemli olduğu yerlerde, eksenel yükü düşük tutmak yararlıdır.Şekil den görüldüğü gibi, eksenel yükün sıfır veya çok düşük düzeyde olduğu durumlarda (B eğrisi), çekme donatısının akmasına karşılık olan My momentine erişilinceye kadar, eğilme rijitliğinde (eğrinin eğimi) y ş y , ğ j ğ ( ğ ğ )fazla bir değişme olmamaktadır.

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 59

Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)

Akma momentine ulaşıldıktan sonra ise, eğilme rijitliği sıfıra yaklaşarak, hemen hemen sabit kalan bir moment altında eğrilik hızla artmaktadır. Bu durumda, B eğrisi şekilde kesik çizgiyle gösterilen C eğrisi ile değiştirildiğinde, M Φ ilişkisi için az hata içeren basit bir eğri elde edilmişM-Φ ilişkisi için az hata içeren basit bir eğri elde edilmiş olur. C eğrisinde akmaya ulaşıldıktan sonra momentin sabit kaldığı kabul edildiğinden, elasto-plastik bir malzemekaldığı kabul edildiğinden, elasto plastik bir malzeme davranışı elde edilmiş olmaktadır.

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 60

Page 31: 02 Moment Curvature

Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)

Özetlersek, M-Φ ilişkisi, çekme donatısının akmasına karşı olan eğrilik Φy ye kadar doğrusal kalmakta, bu noktadan ğ y y ğsonra artan eğrilik altında moment sabit kalmaktadır. Φu eğriliğe gelindiğinde, en dış basınç lifindeki beton ezilme birim kısalmasına ulaştığından beton ezilmekte ve moment taşıma kapasitesi tükenmektedir

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 61

Eğrilik niye artıyor…u

m fs

uy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=κ

sabit

orantılıDoğru

EI

M

Eğilme ğMomenti M(t)ug(t)

fs

uy up

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=κ

azaldı

sabit

EI

M

02.2010

Eğrilik κ (1/m) Idealize Eğrilik

Lp

Plastik

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 62

Eğrilik κ (1/m) Idealize Eğrilikκ (1/m)Mafsal

Page 32: 02 Moment Curvature

TDY -Plastik mafsal

Doğrusal elastik olmayan analizde, plastik mafsal hipotezi esas alınacaktır. Buna göre, çubuk eleman olarak idealleştirilen kiriş, kolon ve perde türü taşıyıcı sistem elemanlarındaki iç kuvvetlerin plastikve perde türü taşıyıcı sistem elemanlarındaki iç kuvvetlerin plastik kapasitelerine eriştiği sonlu uzunluktaki bölgeler boyunca, plastik şekildeğiştirmelerin düzgün yayılı biçimde oluştuğu varsayılacaktır. Plastik mafsal boyu olarak adlandırılan plastik şekildeğiştirmePlastik mafsal boyu olarak adlandırılan plastik şekildeğiştirmebölgesi’nin uzunluğu ( Lp ), çalışan doğrultudaki kesit boyutu ( h ) ’nınyarısına eşit alınacaktırNoktasal bir eleman olan plastik mafsalın teorik olarak yukarıdaNoktasal bir eleman olan plastik mafsalın, teorik olarak yukarıda tanımlanan plastik şekildeğiştirme bölgesinin tam ortasına yerleştirilmesi gerekir. Kolon ve kirişlerde plastik mafsallar kolon-kiriş birleşim bölgesininKolon ve kirişlerde plastik mafsallar, kolon-kiriş birleşim bölgesinin hemen dışına, diğer deyişle kolon veya kirişlerin net açıklıklarının uçlarına konulabilir. Ancak, düşey yüklerin etkisinden ötürü kirişlerde açıklık ortalarında da plastik mafsalların oluşabileceği gözönüne

02.2010

açıklık ortalarında da plastik mafsalların oluşabileceği gözönünealınmalıdır.

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 63

Bilgisayar Yazılımları

Response 2000Response 2000M_K.xls_

Xtract (iai.key)

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 64

Page 33: 02 Moment Curvature

MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (1)

∆ : dx segmenti toplam uzama miktarı∆ : dx segmenti toplam uzama miktarı

İç kuvvetler ve yerdeğiştirmiş (şekildeğiştirmiş) kiriş arasındaki ilişkileri belirlemek amacıyla yularıdaki şekilde verilen basit kiriş ele alınmıştır.

Hook kan n na göre birim şekildeğiştirme: ε=∆/d

02.2010

Hook kanununa göre birim şekildeğiştirme: ε=∆/dx Gerilme birim şekildeğiştirme arasındaki ilişki: ε=σ/E Eğilme momenti tarafından meydana gelen gerilme: σ=M·y/I

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 65

MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (2)

Kirişin segmentinin uzunluğu: dxDeformasyondan sonra tarafsız eksenin boyu dx

( )' ydx θρ

olarak kalır. Diğer kesitlerde

( )( )' yydxdx

ydx

θΔθ⋅−=θ⋅ρ−θ⋅−ρ=−=Δ

θ⋅−ρ=

x

cc

yy

dx ρ−=

ρθθ

−=Δ

mm

m

y

şd) birimmax :( c

ρor c

εε

02.2010

mx c

yε−=ε

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 66

Page 34: 02 Moment Curvature

MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (3)

• Lineer elastik malzemeler için

mxx Ey

E ε−=ε=σ

m

mxx

yc

σ−=c

Eğilme momenti tarafından meydana gelen gerilme

• Denge denklemlerindenI

dAc

yydAyM mx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ−−=σ−= ∫∫

∫∫ −=== dAc

ydAF mxx σσ0

cMc

IdAy

cM m2m

σ=

σ= ∫

02.2010

∫∫

−= dAy

c

mσ0 My

içiny

I

cMm

σσσ

⋅=σ

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 67

∫ dAyc

0I

y için

c

y xmx −=σσ−=σ

MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (4)

ρ=ε

cm

I

cMm

⋅−=σ mm E ε⋅=σ

McM11 ⋅σε

ρI

2

mm

EI

M

I

cM

cE

1

cEc

1=

⋅⋅

⋅=

⋅σ

2

2

dx

yd1

= 2/32dy

1 ⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛+

02.2010 dx

1⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

+

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 68

Page 35: 02 Moment Curvature

02.2010

17.0

DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 69