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Deuxieme annee
Departement Energie & Fluides
Module EFS8AB
- TURBOMACHINES -
ENERGIES HYDRAULIQUE ET EOLIENNE
Mathieu Jenny
Annee universitaire 2017 - 2018
Table des matieres
Cours de turbomachines de Mathieu Jenny, ENSMN. Introduction 3
1 Effets des forces d’inertie - Problematique de l’equilibrage 5
1.1 Cinetique des masses et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Distribution de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Resultante et moment cinetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Tenseur d’inertie d’un solide indeformable : generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Tenseur d’inertie : theoreme de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Tenseurs d’inertie de solides homogenes de forme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Probleme de l’equilibrage d’un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Pompes 17
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Resultats du cours de mecanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Pompes volumetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Configuration d’une turbopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Principe de quantite de mouvement angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Notions de charge relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Caracteristique d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1 Caracteristique theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Caracteristique reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.3 Bilan de rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Pompes a helices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Problemes generaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.1 Point de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.2 Hauteur d’aspiration et amorcage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.3 Groupement de pompes : serie et parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.4 Cavitation - rudiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Etude dimensionnelle et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 NPSH (Net positive Suction Head) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 TD : Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.1 Repartion de pompes sur un oleoduc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 TABLE DES MATIERES
2.10.2 Choix d’une pompe par similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10.3 Etude d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10.4 Etude d’une pompe multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10.5 Exemple d’utilisation du NPSH (R. Joulie, Mecanique des fluides appliquee) . . . . . 39
3 Turbines hydrauliques 41
3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Les turbines a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Les turbines a reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Bilan d’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Turbine a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 La turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Turbine Crossflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3 Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Turbines a reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Organes communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.3 Caracteristiques generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.4 Diffuseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.5 Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.6 Limite de la hauteur d’aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 TD : Turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.1 Turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.2 Dental drill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.3 Tourniquet hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.4 Etude d’une turbine Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.5 Turbine aux encheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Notions theoriques sur les eoliennes 71
4.1 Le vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1 Variation de la vitesse du vent dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2 Les variations de vitesse de vent dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3 Etude statistique du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Notions d'aerodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2 Actions de l'air sur l'aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.3 Parametres influant sur les Cz et Cx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Calcul aerodynamique d'une eolienne a axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.1 Theorie de Betz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.2 Effets de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.3 Prise en compte de l’element de la pale d’helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.4 Corrections de Prandtl et de Glauert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.5 Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale . . . . . . . . . . . 83
Bibliographie 85
Introduction
Ce document de cours-TD de
Turbomachines - Applications aux energies hydraulique et eolienne
est destine aux eleves de deuxieme annee de l’ecole nationale superieure des Mines de Nancy ayant
choisi le departement Energie & Fluides. Il correspond au module EFS8AB. Une version pdf de ce
document est accessible sur
http://energie.mines-nancy.univ-lorraine.fr/2A/turbo2a.pdf .
Ce cours se situe evidemment dans la continuite du cours de mecanique des milieux continus
solides et fluides de premiere annee (Plaut 2017b), et de celui de mecanique des fluides de deuxieme
annee (Plaut 2017a). Nous utilisons les memes notations : les caracteres gras surmontes d’une barre
(exemple : v) designent les vecteurs, les caracteres gras surmontes de deux barres (exemple : D)
designent les tenseurs d’ordre 2.
Pour echanger de l’energie entre un fluide et un systeme mecanique, on utilise ce qu’on appelle
des machines a fluides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert de
l’energie de la machine vers le fluide se fait grace a des pompes. La transformation inverse est faite
par des turbines. Ces dernieres peuvent alors, soit transmettre directement l’energie mecanique a
une autre machine a faire fonctionner, soit, a leur tour, echanger leur energie mecanique avec un
alternateur pour la transformer en electricite. L’energie des fluides provient soit de leur energie
potentielle, dans le cas d’une chute d’eau et de l’energie - renouvelable ! - hydraulique, soit de
leur energie cinetique dans le cas des eoliennes, soit encore d’une source d’energie thermique :
energie nucleaire ou energie de combustion. Les turbomachines sont donc en premiere ligne pour la
production d’energie utilisable par la societe que ce soit a des fins industrielles ou de consommation
domestique.
On presente dans le chapitre 1, redige par Emmanuel Plaut, la problematique de l’equilibrage
des machines tournantes. Les chapitres 2 a 3, rediges par Mathieu Jenny, presentent les pompes
puis les turbines hydrauliques. Ces chapitres sont tres largement inspires du cours de Souhar
(2009–2010). On presentera les notions theoriques necessaires au choix des turbomachines en fonc-
tion d’un cahier des charges et de leur integration dans un circuit hydraulique. Le chapitre 4 est
une introduction aux eoliennes qui peuvent etre considerees comme des turbines qui utilisent le
vent. Ce chapitre est une reprise de la presentation theorique du TP eolienne redige par Ophe-
lie Caballina et Alexandre Labergue (cours ENSEM, 3A energie). Un approfondissement sur les
eoliennes est propose en troisieme annee du departement E&F dans le module Advanced Fluid
Mechanics de Plaut & Peinke 2017.
4 Introduction
Les cinq premieres seances de ce cours porteront sur les chapitres 1, 2 et 3. La sixieme seance
sera consacree a l’introduction aux eoliennes et au test ecrit d’une heure environ. Le controle
portera sur les trois premiers chapitres.
La fin de ce module est consacree au bureau d’etudes Hydroelectricite qui aura lieu pendant la
semaine departementale de mars 2018, exactement, le jeudi 15 mars 2018. Pendant cette journee,
vous ferez l’etude de amenagement d’un barrage hydroelectrique sur un torrent de montagne. Le
bureau d’etudes sera encadre par Quentin Morel, directeur technique chez Petavit. On passera a
cette occasion en revue plusieurs problematiques de la petite hydraulique, du predimensionnement
du barrage, a la gestion de la retenue et aux differents calculs de production d’energie et de rentabi-
lite en fonction des contraintes economiques et environnementales. Ce bureau d’etudes sera evalue
par des rendus a remettre du jour au lendemain. L’evaluation de l’ensemble du module reposera
sur la moyenne du test ecrit (coeff. 0.3), du TP d’aerodynamique (coeff. 0.2) et de l’evaluation du
bureau d’etude (coeff. 0.5).
Je remercie tres vivement Emmanuel Plaut pour la redaction du chapitre 1, complete utilement
par l’annexe A du cours de mecaniques des milieux continus solides et fluides de premiere annee
(Plaut 2017b), Mohamed Souhar, professeur a l’ENSEM, chercheur au LEMTA, pour m’avoir
permis de reproduire en grande partie dans mes chapitres 2 et 3 son cours de turbomachines
et Ophelie Caballina, maıtre de conferences a l’ENSEM et au LEMTA, pour son cours sur les
eoliennes. Enfin, je remercie Quentin Morel pour le bureau d’etude qu’il propose et encadre a la
fin du module.
Nancy, le 2 fevrier 2018.
Mathieu Jenny.
Chapitre 1
Effets des forces d’inertie sur les
turbomachines - Problematique de
l’equilibrage
Une machine a fluides tournante est un objet solide en interaction avec un ou plusieurs fluides
environnants, a qui elle communique ou de qui elle tire son energie cinetique de rotation. Dans ce
chapitre on s’interesse a un aspect important de la « mecanique des solides » qui constituent
des machines tournantes, a savoir l’effet de la force d’inertie centrifuge sur ces solides. On
montre d’apres les equations (A.38) de (Plaut, 2017b) et (1.39) que, si ω est la vitesse (constante
dans le temps) de rotation angulaire de la turbomachine autour de l’axe fixe Oz, dans le referentiel
tournant lie a cette machine la force volumique d’inertie d’entraınement centrifuge
fie = −ργe (1.1)
avec ρ le champ de masse volumique de la machine,
γe = ωez ∧ (ωez ∧OM) (1.2)
le champ d’acceleration d’entraınement, M designant le point de l’espace ou ces champs sont
consideres. En utilisant un systeme de coordonnees cylindriques (r, θ, z) d’origine O et d’axe Oz,
on obtient
γe = −ω2rer =⇒ fie = ρω2rer (1.3)
qui est d’autant plus grande que ω est grande. Cette force d’inertie va devoir etre equilibree par des
reactions de liaison des paliers qui supportent l’arbre de la machine. Minimiser la contribution
de cette force d’inertie a ces reactions de liaison est exactement le but de l’equilibrage des
rotors, que l’on presentera ci-apres dans la cadre de la mecanique des solides indeformables.
Se preoccuper de la resistance des materiaux deformables constituant la machine tournante
aux contraintes internes engendrees par la force volumique (1.3) serait l’etape suivante, que nous
ne pourrons malheureusement pas aborder, faute de temps. Nous renvoyons le lecteur interesse a
Geradin & Rixen (1996).
Un calcul d’ordre de grandeur montre l’importance des forces (1.3). Une turbine a vapeur de
centrale thermique ou nucleaire tourne, dans le cas d’un couplage avec alternateur a 2 poles, a
6 Introduction
3000 tr/mn, ce qui donne, en unites SI,
ω = 30002π rad
60 s= 314 rad/s .
Les pales de cette turbine etant de taille metrique, l’acceleration d’entraınement correspondante
est
γe ' (314 rad/s)2 1 m ' 98700 m/s2 ' 10000 g
avec g l’acceleration de la pesanteur, qui constitue une reference...
Une approche scientifique du probleme de l’equilibrage des rotors necessite des bases en meca-
nique des solides indeformables ; c’est l’objet de ce chapitre que de les donner. On ne se limite
pas strictement aux notions qui seront utilisees pour l’equilibrage, de facon a fournir un document
de cours un peu etoffe, qui pourra etre utile dans d’autres contextes 1. L’equilibrage proprement
dit sera traite en TD, lors de l’etude du probleme de la section 1.3.
Les notions de cinematique du solide, i. e. la composition des mouvements par changement
de referentiel, necessaires a ce chapitre se trouvent dans l’annexe A du cours de mecanique des
milieux continus fluides et solides de premiere annee (Plaut, 2017b).
1.1 Cinetique des masses et inertie
Les objets de la mecanique des solides sont pesants. On va definir et caracteriser precisement
cette distribution de masse, notamment grace a la notion de centre d’inertie. D’autre part
on peut noter qu’un solide indeformable possede, en vertu de la structure de champ de moments
de son champ de vitesse, 6 degres de liberte : 3 degres de liberte de translation et 3 degres de
liberte de rotation. Il faut donc definir, pour caracteriser precisement son mouvement autour d’un
point O de reference, sa quantite de mouvement de translation ou resultante cinetique 2 et sa
quantite de mouvement de rotation ou moment cinetique 3. C’est ce que nous allons faire dans
cette section, en terminant par l’introduction du tenseur d’inertie, outil commode pour le calcul
du moment cinetique.
1.1.1 Distribution de masse
En general la masse est distribuee dans le volume de la machine consideree, volume que nous
noterons Ωt. La masse totale peut donc s’ecrire
m =
∫∫∫Ωt
d3m (1.4)
avec
d3m = ρ d3x (1.5)
l’element de masse, d3x etant l’element de volume, ρ la masse volumique.
Dans certains cas on pourra modeliser une partie du systeme, tres mince dans une ou deux di-
rections, en considerant qu’elle est a distribution surfacique ou lineique de masse ; on remplacera
1. On ignore aussi volontairement le fait que certains, en fonction de leur classe preparatoire, ont deja vu telle
ou telle notion ; cela ne leur fera pas de mal de « reviser »...
2. ‘Linear momentum’ en anglais.
3. ‘Angular momentum’ en anglais.
Introduction 7
l’integrale triple dans des formules definissant des quantites extensives du type (1.4) par une in-
tegrale double ou simple, l’element de masse etant proportionnel a un element de surface ou de
longueur. On pourra aussi considerer que certaines masses sont « ponctuelles » ; alors l’integrale
sera une somme discrete.
1.1.2 Centre d’inertie
Le centre d’inertie du systeme est defini comme le point G barycentre de la distribution de
masse du systeme, tel que
∀O, mOG =
∫∫∫Ωt
OM d3m . (1.6)
1.1.3 Resultante et moment cinetiques
Dans le referentielR0 ou O est fixe, nous definissons la quantite de mouvement de translation
totale du systeme,
p(t) :=
∫∫∫Ωt
v(M,t) d3m =
∫∫∫Ωt
˙OM(t) d3m = m ˙OG(t) . (1.7)
La commutation de la derivee par rapport au temps et de l’integrale sur la distribution de masse,
p =
∫∫∫Ωt
dOM
dtd3m =
d
dt
∫∫∫Ωt
OM d3m , (1.8)
resulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport d’une densite massique,
d
dt
∫∫∫Ωt
e d3m =
∫∫∫Ωt
de
dtd3m , (1.9)
demontree dans la sous-section 3.1.3 de Plaut (2017b).
Comme on l’a explique au debut de cette section, on doit aussi introduire la quantite de mouvement
de rotation du systeme par rapport a ce point O, soit
σ(O,t) :=
∫∫∫Ωt
OM(t) ∧ v(M,t) d3m (1.10)
En utilisant la relation de transitivite AM = OM −OA ainsi que la definition (1.7), on observe
que
∀O,A, σ(A,t) = σ(O,t) + p(t) ∧OA (1.11)
ce qui montre que σ est un champ de moments de resultante p. On designe pour cette raison σ(O,t)
comme le moment cinetique du systeme par rapport au point O, et p(t) comme la resultante
cinetique du systeme.
8 Introduction
1.1.4 Tenseur d’inertie d’un solide indeformable : generalites
On se place toujours dans un referentiel R0 ou un point O du solide S etudie est fixe. Si S
est un solide indeformable, on peut utiliser le fait que son champ de vitesse est un champ de
moments. La formule des champs de moments donne alors
v(M ∈ S,t) = v(O ∈ S,t) + ω ∧OM(t) = ω ∧OM(t) , (1.12)
avec
ω = ωS/R0(t) (1.13)
le vecteur vitesse de rotation instantanee de S dans R0. Le produit OM∧v a integrer pour obtenir
le moment cinetique (1.10) s’ecrit donc
OM ∧(ω ∧OM
)= OM2ω −
(OM · ω
)OM =
[OM21−OM⊗OM
]· ω .
Introduisons le tenseur d’inertie de S par rapport au point O,
I(O,t) =
∫∫∫Ωt
[OM2(t)1−OM(t)⊗OM(t)
]d3m . (1.14)
Ce tenseur d’inertie est de fait l’application lineaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantanee
ω, associe le moment cinetique en O,
I(O,t) : R3 −→ R3
ω 7−→ σ(O,t) = I(O,t) · ω .. (1.15)
On a interet a expliciter ce tenseur dans un repere Oxyz lie a S, car il y aura des composantes
independantes du temps. En coordonnees cartesiennes, le vecteur OM etant repere par
OM = xex + yey + zez ,
l’equation (1.14) s’explicite selon
Mat[
I(O),ex,ey,ez
]=
Ixx Ixy Ixz
Ixy Iyy Iyz
Ixz Iyz Izz
(1.16)
ou apparaissent les moments d’inertie par rapport aux axes x, y, z,
Ixx =
∫∫∫Ωt
(y2 +z2) d3m , Iyy =
∫∫∫Ωt
(z2 +x2) d3m , Izz =
∫∫∫Ωt
(x2 +y2) d3m ,
(1.17)
et les produits d’inertie :
Ixy = Iyx = −∫∫∫
Ωt
xy d3m ,
Iyz = Izy = −∫∫∫
Ωt
yz d3m ,
Izx = Ixz = −∫∫∫
Ωt
zx d3m . (1.18)
Introduction 9
On peut noter que
Izz =
∫∫∫Ωt
HM2 d3m (1.19)
avec H le projete orthogonal de M sur l’axe Oz. Ainsi Izz est d’autant plus grand que la masse
de S est en moyenne loin de l’axe Oz. D’autre part Ixy > 0 (resp. < 0) indique qu’en moyenne la
masse de S est dans le demi-espace xy < 0 (resp. > 0) ; Ixy = 0 indique que la masse de S est
equirepartie entre les demi-espaces xy < 0 et xy > 0.
Le calcul des integrales (1.17) et (1.18) ne pose pas de problemes dans son principe ; des resultats
types seront donnes en sous-section 1.1.6. En pratique, dans le cas de solides de forme compliquee,
les logiciels de Conception Assistee par Ordinateur effectuent automatiquement et numeriquement
tous ces calculs.
De maniere generale, I(O,t) etant symetrique peut se diagonaliser dans une certaine base
orthonormee liee au solide S. Les axes Ox, Oy, Oz correspondants sont appeles axes principaux
d’inertie du solide, tandis que les elements diagonaux correspondants Ixx, Iyy, Izz sont appeles
moments principaux d’inertie du solide.
Sans aller eventuellement jusqu’a cette diagonalisation complete, on a souvent interet a calculer
le tenseur d’inertie dans une base ou le solide presente certaines symetries.
Par exemple, si le solide admet xOy comme plan de symetrie, on observe, en faisant le change-
ment de variable z 7→ −z dans les integrales, que
Ixz = Iyz = 0 .
Ceci prouve que l’axe Oz est axe principal d’inertie du solide ; alors les deux autres axes principaux
se trouvent forcement dans le plan xOy.
Si l’un des axes de base, par exemple Oz, est axe de symetrie du solide, alors le changement de
variable (x,y) 7→ (−x,− y) montre qu’on a aussi
Ixz = Iyz = 0 .
La encore l’axe Oz est axe principal d’inertie.
Si Oz est axe de revolution on aboutit aux memes resultats. De plus, en faisant le changement
de variable (x,y) 7→ (−y,x) correspondant a une rotation de π/2, on montre que
Ixy = 0
et
Ixx = Iyy .
Ceci signifie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d’inertie, et que les deux premiers
moments principaux d’inertie sont egaux.
1.1.5 Tenseur d’inertie : theoreme de Huyghens
Afin d’examiner le lien entre les tenseurs d’inertie en deux points origines differents O et A,
inserons la relation de transitivite
OM = OA + AM
10 Introduction
dans le tenseur elementaire a integrer pour calculer I(O) equation (1.14). Il vient
OM21−OM⊗OM =(
OA2 + 2OA ·AM + AM2)1
−(OA⊗OA + AM⊗OA + OA⊗AM + AM⊗AM
).
On en deduit par integration, et en utilisant l’equation (1.6) pour A a la place de O, la relation
I(O) = m[(
OA2 + 2OA ·AG)1−OA⊗OA + AG⊗OA + OA⊗AG
]+ I(A) . (1.20)
Cette relation se simplifie remarquablement si A coıncide avec le centre d’inertie G du solide ; on
aboutit alors au theoreme de Huyghens :
I(O) = m(
OG21−OG⊗OG)
+ I(G) (1.21)
Ce theoreme, qui permet de deduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justifie
que l’on ne donne dans le formulaire de la section 1.1.6 que les valeurs de I(G).
1.1.6 Tenseurs d’inertie de solides homogenes de forme simple
Donnons les tenseurs d’inertie de solides homogenes de forme geometrique simple. Pour le
premier exemple ci-dessous, les calculs se font en coordonnees cartesiennes, avec lesquelles
OM = xex + yey + zez , d3x = dx dy dz . (1.22)
Un calcul preliminaire de la masse totale, selon l’equation (1.4), donne la valeur de ρ. On peut
alors calculer I(G) a partir de l’equation (1.14).
Exemple 1 : parallelepipede rectangle droit :
z
x
yG
2a
2c
2bV = (x,y,z) ∈ [−a,a]× [−b,b]× [−c,c] , ρ =
m
8abc,
Mat[I(G),
ex,ey,ez
]=
m
3
b2 + c2 0 0
0 c2 + a2 0
0 0 a2 + b2
.
(1.23)
Pour les exemples 2 a 5 suivants, les calculs se font en coordonnees cylindriques, avec lesquelles
OM = r(
cos θ ex + sin θ ey)
+ zez , d3x = r dr dθ dz . (1.24)
Introduction 11
Exemple 2 : cylindre creux de revolution :
x
y
z
G
2b2a
2h
V = (r,θ,z) ∈ [a,b]× [0,2π]× [−h,h] , ρ =m
2π(b2 − a2)h,
Mat[I(G),
ex,ey,ez
]= m
a2 + b2
4+h2
30 0
0a2 + b2
4+h2
30
0 0a2 + b2
2
.
(1.25)
Exemple 3 : cylindre de revolution : ce cylindre plein peut etre vu comme un cylindre creux
avec a = 0 :
G
x
z
y
2b
2h
V = (r,θ,z) ∈ [0,b]× [0,2π]× [−h,h] , ρ =m
2πb2h,
Mat[I(G),
ex,ey,ez
]= m
b2
4+h2
30 0
0b2
4+h2
30
0 0b2
2
.
(1.26)
Exemple 4 : anneau torique :
G
z
x
2b
a
V = (r,θ,z) ∈ [b−√a2 − z2,b+
√a2 − z2]× [0,2π]× [−a,a] ,
ρ =m
2π2a2b,
Mat[I(G),
ex,ey,ez
]= m
5a2
8+b2
20 0
05a2
8+b2
20
0 03a2
4+ b2
.
(1.27)
12 Introduction
Exemple 5 : cerceau :
G
y
x
2b
Se deduit du precedent dans la limite a→ 0, d’ou
Mat[I(G),
ex,ey,ez
]= m
b2
20 0
0b2
20
0 0 b2
. (1.28)
Pour les derniers exemples, les calculs se font en coordonnees spheriques, avec lesquelles
OM = r[
sin θ(
cosφ ex + sinφ ey)
+ cos θez], d3x = r2 sin θ dr dθ dφ . (1.29)
Exemple 6 : sphere creuse :
y
x
G
z
a
bV = (r,θ,φ) ∈ [a,b]× [0,π]× [0,2π] ,
ρ =3m
4π(b3 − a3),
I(G) =2
5m
b5 − a5
b3 − a31 . (1.30)
Exemple 7 : sphere :
Dans le cas a = 0 on obtient pour une sphere pleine de rayon b que
I(G) =2
5m b2 1 . (1.31)
1.2 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts
On se place dans un premier temps dans un referentiel R0 repute galileen, ou les seules forces
agissant sur un systeme S sont les forces physiques :
• densite volumique de forces fvol agissant dans le volume Ωt, par exemple fvol = ρg
pour le poids, g etant le champ gravitationnel, fvol = ρe(E + v ∧B) pour la force electro-
magnetique, ρe etant la densite volumique de charge, E le champ electrique, B le champ
magnetique ;
• densite surfacique de forces T agissant sur la frontiere ∂Ωt de Ωt.
La premiere loi de Newton est la loi d’evolution de la resultante cinetique,
p = Rext resultante des efforts exterieurs appliques (1.32)
Rext =
∫∫∫Ωt
fvol d3x +
∫∫∂Ωt
T d2S . (1.33)
Introduction 13
D’apres les equations (1.7) et (1.9), on peut ecrire la derivee par rapport au temps de la quantite
de mouvement de deux facons differentes,
p =
∫∫∫Ωt
γR0(M) d3m = mOG . (1.34)
La deuxieme loi de Newton est la loi d’evolution du moment cinetique,
σ(O) = Γext(O) moment en O des efforts exterieurs appliques (1.35)
Γext(O) =
∫∫∫Ωt
OM ∧ fvol d3x +
∫∫∂Ωt
OM ∧T d2S . (1.36)
D’apres (1.9), la definition (1.10) et la formule (1.15), on peut ecrire la derivee par rapport au
temps du moment cinetique de deux facons differentes,
σ(O) =
∫∫∫Ωt
OM ∧ γR0(M) d3m =
d
dt
[I(O) · ωS/R0
]. (1.37)
Il importe de constater que le champ de vecteurs Γext(O) presente une structure de champ de
moments, de resultante Rext :
∀A,O, Γext(A) = Γext(O) + Rext ∧OA = Γext(O) + AO ∧Rext . (1.38)
Ceci justifie le terme « moment des efforts » ; on parle aussi de « couples » appliques pour designer
des contributions a Γ.
Si maintenant on se place dans un referentiel non galileen R dont le mouvement est connu
par rapport au referentiel absolu galileen R0, on peut injecter dans les membres de gauche des lois
de Newton, a savoir (1.34) et (1.37), la formule de composition des accelerations (??). On observe
que les lois de Newton restent valables dans le referentiel R a condition d’introduire des forces
d’inertie volumiques dans les membres de droite,
fi = fie︸︷︷︸force d’inertie d’entrainement
+ fic︸︷︷︸force d’inertie de Coriolis
= −ργe − ργc . (1.39)
1.3 Probleme de l’equilibrage d’un rotor
On considere un rotor S solide indeformable, de masse totale m, comprenant un axe Oz en
rotation sur un chassis grace a des liaisons pivots situees aux points P1 et P2 :
P2P1
G
x
zy
S
On choisit un repere de travail Oxyz lie au solide S, d’origine O = P1 . On a alors OP2 = lez.
D’autre part le centre de gravite G de S est repere par OG = OH+HG avec H projete orthogonal
14 Introduction
de G sur l’axe Oz, OH = cez, HG = aex + bey.
On s’interesse au regime de rotation ou la vitesse angulaire ω de S dans le referentiel absolu du
laboratoire R0 est constante. Dans ce referentiel, le rotor est soumis a des efforts au niveau des
liaisons pivots :
• le champ de forces exerce au niveau de la liaison P1 a une resultante egale a la reaction
de liaison R1 et un couple en P1 egal au couple de liaison Γ1 ;
• le champ de forces exerce au niveau de la liaison P2 a une resultante egale a la reaction
de liaison R2 et un couple en P2 egal au couple de liaison Γ2.
D’autre part des efforts dus a l’environnement, par exemple l’action de fluides, existent ; on
note Renv leur resultante, Γenv leur couple en O. Enfin l’action de la gravite terrestre constitue
une troisieme source d’efforts.
La moitie des mini-groupes de TD traitera la question 1 ci-dessous par la voie a, l’autre moitie
par la voie b.
1 Explicitez les lois fondamentales de la dynamique de ce systeme
1.a soit dans le referentiel R0 du laboratoire,
1.b soit dans le referentiel R lie a S, donc en rotation par rapport a R0 avec le vecteur vitesse
instantanee de rotation ω = ωez.
Dans les deux cas faites intervenir les composantes Ixz et Iyz de la matrice representant le tenseur
d’inertie I(O) de S dans la base tournante ex,ey,ez.
1.c On fait l’hypothese que les liaisons pivots sont « parfaites » au sens ou, en l’absence d’actions
dues a l’environnement, les couples de liaison Γ1 et Γ2 sont nuls. Observant d’autre part que le
systeme d’equations que l’on vient d’obtenir est lineaire vis-a-vis de tous les efforts appliques, on
s’interesse dans ce qui suit aux reactions de liaison R1 et R2 qui compensent seulement les termes
inertiels, dus aux membres de gauche des equations de la dynamique (1.32) et (1.35) dans le calcul
de 1.a, ou aux forces d’inertie dans le calcul de 1.b. Montrez que ces reactions sont definies par le
systeme
R1 + R2 = ω2 R ,
OP1 ∧R1 + OP2 ∧R2 = ω2 S , (1.40)
en donnant la definition des vecteurs R et S tournants lies a S, qui ne dependent que de la geometrie
de la distribution des masses de S. Proposez une interpretation physique expliquant l’origine et la
nature des termes −ω2 R et −ω2 S.
2.a Determinez autant que possible les composantes de R1 et R2, en notant qu’il demeure une
composante inconnue de liaison.
2.b Montrez que l’equilibrage complet du rotor, i.e. l’annulation des termes sources R et S dans
le systeme (1.40), revient aux conditions suivantes :
• condition d’equilibrage statique : le vecteur « balourd » mHG = 0, i.e. a = b = 0,
i.e. le centre d’inertie G se trouve sur l’axe de rotation Oz ;
• condition d’equilibrage dynamique : les moments d’inertie Ixz = Iyz = 0, i.e. l’axe de
rotation Oz est axe principal d’inertie de S.
Introduction 15
Montrez en sus que la condition d’equilibrage statique revient a assurer que le terme de couple du
au poids, OG ∧mg, est effectivement statique au sens ou il est independant du temps.
3 On desire equilibrer le rotor en disposant sur S une masse ponctuelle mα au point A de son
bord repere par OA = xαex + yαey + zαez et une autre masse ponctuelle mβ au point B de son
bord repere par OB = xβex + yβey + zβez.
3.a Calculez les coordonnees a′, b′ et c′ du centre de gravite G′ du systeme S′ = S ainsi modifie,
et explicitez la condition d’equilibrage statique de S′.
3.b Calculez les produits d’inertie en O, I ′xz et I ′yz, du systeme S′, et explicitez la condition
d’equilibrage dynamique de S′.
3.c Pourquoi ne doit-on pas en general disposer les masses mα et mβ dans un meme plan perpen-
diculaire a l’axe de rotation, d’equation z = constante ?
4 D’un point de vue pratique, comme on n’a pas acces directement a la position du centre d’inertie
ou aux moments d’inertie, on utilise la methode des coefficients d’influence pour equilibrer
un rotor. Pour cela on caracterise quantitativement le desequilibre du rotor, en regime de rotation
a vitesse angulaire constante ω, en mesurant dans le referentiel R0 une des composantes de R1 et
R2 grace a deux capteurs de forces, places en P1 et P2 , et orientes perpendiculairement a l’axe
de rotation. Si on appelle eX la direction de mesure de ces capteurs, on peut former une base fixe
dans R0 a l’aide des vecteurs eX , eY , eZ
=eX , ez ∧ eX , ez
.
Dans cette base fixe la base liee au rotorex, ey, ez
est tournante, avec un angle de rotation
φ(t) :=(
eX , ex(t))
= ωt ,
et on mesure donc
s1(t) = R1 · eX grace au capteur 1, s2(t) = R2 · eX grace au capteur 2.
4.a En utilisant les resultats de la question 2.a, donnez l’expression generale de s1 et s2. Montrez
que l’on peut associer naturellement a ces signaux temporels oscillants des amplitudes complexes
z1 et z2 dont on donnera l’expression. Vous introduirez enfin les amplitudes complexes normalisees
Z1 = z1/ω2 et Z2 = z2/ω
2.
Indication-commentaire : vous constaterez que la regle utilisee en traitement de signaux oscillants,
s(t) = sx cos(ωt)− sy sin(ωt) = Re[z exp(iωt)] ←→ amplitude z = sx + isy ,
se marie harmonieusement, ici, avec la regle utilisee en analyse complexe pour associer un complexe
a un vecteur.
4.b Quelles conditions doit-on realiser pour equilibrer le rotor ?
4.c La strategie proposee par la methode des coefficients d’influence consiste a equilibrer le systeme
en positionant des masses a la peripherie de deux disques faisant partie de S, situes l’un en z = zα,
16 Introduction
l’autre en z = zβ 6= zα . On repere la valeur de ces masses et leur position dans les plans de ces
disques par les « balourds »
bα = mα(xα + iyα) , bβ = mβ(xβ + iyβ) en notations complexes.
On commence par mesurer les amplitudes complexes normalisees Z1 et Z2 sur S tournant seul ; on
note les valeurs correspondantes Z01 et Z0
2 .
On arrete alors S, et on place mα en un point A du premier disque de S. On mesure - apres retour
au regime de rotation permanent - les nouvelles valeurs Z1α et Z2α des amplitudes complexes
normalisees des signaux s1 et s2. Montrez que l’on a alors
Z1α = Z01 + c1αbα , Z2α = Z0
2 + c2αbα
ou l’on peut faire apparaıtre (i.e. mesurer pratiquement) des coefficients d’influence c1α et c2α dont
on donnera la valeur theorique.
On arrete a nouveau le systeme, on enleve mα, et on dispose mβ en un point B du deuxieme disque
de S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z1β et Z2β des amplitudes complexes normalisees des
signaux s1 et s2. Montrez que l’on peut introduire des coefficients d’influence c1β et c2β de sorte
que
Z1β = Z01 + c1βbβ , Z2β = Z0
2 + c2βbβ .
Dans le cas general ou on dispose mα en A point du premier disque et mβ en B point du deuxieme
disque, montrez que les amplitudes vibratoires de s1 et s2 sont donnees par :
Z1αβ = Z01 + c1αbα + c1βbβ , Z2αβ = Z0
2 + c2αbα + c2βbβ .
Decrivez a partir de ces resultats une methode pratique d’equilibrage.
Vous noterez que, d’un point de vue theorique, cette methode fonctionne si la matrice des coeffi-
cients d’influence
[C] =
(c1α c1β
c2α c2β
)est inversible ; vous verifierez theoriquement que cela est bien le cas.
5 En prenant un peu de recul par rapport a ce probleme, on peut remarquer que l’on a privilegie
un point particulier O de l’axe de rotation dans tout le traitement. Montrez donc que si le rotor
S est equilibre vis a vis de O, alors il est equilibre vis a vis de tout autre point O′ de l’axe de
rotation.
Chapitre 2
Pompes
2.1 Introduction
Une pompe est une machine hydraulique qui permet d’augmenter la charge H d’un fluide
moyennant une puissance exterieure Pext > 0 fournie au fluide. Cette puissance est en general
fournie par un rotor en rotation.
2.1.1 Resultats du cours de mecanique des fluides
v e
v s
S s
S e
ω
Fig. 2.1 – Section d’une turbopompe.
On considere un tube de courant de fluide incompressible en regime permanent (figure 2.1). On
a donc la loi de conservation de la masse qui s’applique :∑δΩ
v.ndS = 0 ⇒ qv = veSe = vsSs (2.1)
Le bilan energetique dans un tube de courant qui contient une source (ou un puits) d’energie
s’ecrit en l’absence de perte de charge :
Pext = ρgqv (Hs −He) (2.2)
avec les charges d’entree He et de sortie Hs du tube de courant. On rappelle la definition de la
charge H (voir l’equation (1.33) du cours de mecanique des fluides Plaut 2017a) :
H =p
ρg+ z + α
〈v〉2
2g(2.3)
18 Introduction
p est la pression du fluide au point d’altitude z. La vitesse 〈v〉 designe la vitesse debitante a travers
une surface S et α est le coefficient d’energie cinetique qui sont definis par les relations (1.34) du
cours de mecanique des fluides Plaut 2017a. Si la puissance exterieure est echangee via un rotor
en rotation, alors elle peut s’exprimer comme :
Pext = Cextω (2.4)
ce qui fait intervenir le couple applique au rotor Cext et sa vitesse angulaire de rotation ω.
On appellera Hth = Hs −He > 0 la charge theorique atteinte lorsqu’il n’y a pas de perte dans
la pompe. D’apres la definition de la charge, on en deduit que :
ps − pe = ρgHth +ρ
2
q2v
S2e
[1−
(SeSs
)2]
(2.5)
En general dans une pompe, Se . Ss ce qui rend le deuxieme terme negligeable. On a donc une
augmentation de pression a travers une pompe (∆p = ps − pe > 0).
Placee dans un circuit, une pompe peut-etre consideree comme une singularite qui augmente
la charge.
Dans une turbopompe (en general hydromachines qui incluent les turbines), il n’y a aucun
organe d’etancheite entre l’entree et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continu
trace dans le fluide. Il y a d’autres classes de pompes ou ce n’est pas le cas, par exemple, les pompes
volumetriques.
2.1.2 Pompes volumetriques
1 2e s
piston
Fig. 2.2 – Schema d’une pompe a piston (volumetrique). Clapet d’aspiration 1, clapet de refoulement 2.
— En phase d’aspiration, le clapet 1 est ouvert et le 2 ferme.
— En phase de refoulement, le clapet 1 est ferme et le 2 ouvert.
Dans ce cas l’entree est deconnectee de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continu
entre les points e et s.
Il existe d’autres types de pompes volumetriques :
— pompes a palettes,
— pompes a engrenages,
— pompes a ecrasement de tuyaux,
— ...
Introduction 19
P
air
eau
q fluctuant q presque constant
Fig. 2.3 – Capacite pneumatique.
dont les principales caracteristiques sont un faible debit mais de grandes pressions de refoulement.
De plus, ces pompes conduisent a des debits fluctuants dans le temps, ce qui necessite assez souvent
la mise en place de capacite pneumatique pour stabiliser le debit (figure 2.3).
Les machines volumetriques sont surtout utilisees comme organes de puissance (∆p grands) ou
commande de puissance.
2.1.3 Configuration d’une turbopompe
Il existe plusieurs technologies de pompes. On peut les classer en deux categories principales :
les pompes volumetriques et les turbopompes. Les pompes volumetriques sont celles qui permettent
le saut de pression le plus important mais cela n’est vrai qu’avec des fluides incompressibles et cela
se fait en general au detriment du debit et de sa regularite. Enfin, du fait de l’etancheite interne a
la pompe (le volume de fluide capture ne doit pas pouvoir s’echapper), ce sont souvent des pompes
fragiles qui tolerent mal les fluides charges en particules solides et abrasives comme, par exemple,
du sable. C’est pourquoi les turbopompes sont tres largement utilisees dans un contexte industriel.
Dans une turbopompe, le transfert d’energie s’effectue entre le fluide et une roue mobile. La
theorie generale est la meme quelque soit le sens de transfert (pompe ou turbine). On distingue :
— les machines a passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton ou l’on peut encore rai-
sonner en turbomachine car il existe des pompes a passage tangentiel, mais il est difficile
de les considerer comme des turbomachines.
ω H
q v
— Les machines a passage radial (pompes centrifuges).
20 Introduction
Fig. 2.4 – Exemples de pompes volumetriques.
Introduction 21
entree
sortie
— Les machines a passage axial ou helicoıdal (pompes a helices).
ω
La disposition generale d’une turbomachine comporte :
— Une roue mobile ou se fait le transfert d’energie.
— Des dispositifs fixes (dans certains cas orientables) d’entree - sortie destines a amener ou a
evacuer le fluide en lui donnant une orientation convenable.
— La roue mobile est munie soit d’augets (generalement a l’air libre) soit d’aubes generalement
noyees dans le fluide.
2.2 Triangle des vitesses
Considerons une pompe centrifuge :
R 1
R 2
b
ω
u
vw
R 1
R 2
S 2
S 1
ω
r
M M’
O
e
Fig. 2.5 – Triangle de vitesse sur une roue de pompe centrifuge.
Soit un point M du rotor (aube), sa vitesse d’entrainement est u :
u = ω ∧OM; |u| = rω (2.6)
avec w la vitesse relative du fluide telle que sur le rotor w.nrotor = 0. La vitesse absolue est donnee
par v = u + w. On definit l’angle β = (u,w) ce qui permet de dessiner le triangle des vitesses a
l’entree et a la sortie.
22 Introduction
u 1
v 1w 1
β 1
n 1
S 1
R 1
v n1
R ω 1
u 2
v 2w 2
β 2
n 2
S 2
R 2
v n2
R ω 2
entree sortie
Fig. 2.6 – Triangle des vitesses entree et sortie
Le debit qv =∫∫S v.ndS se conserve. Si n est le nombre d’aubes, on a donc :
qv = vn1(2πR1 − ne1)b1 = vn2(2πR2 − ne2)b2 (2.7)
avec ei l’epaisseur des aubes a l’entree (1) et a la sortie (2).
On fait une hypothese importante : le triangle des vitesses dans le fluide au point M’ situe
entre 2 aubes est le meme au point M situe sur le rotor si |OM| = |OM′|. En realite ceci n’est pas
tout a fait exact et meme en fluide parfait, de part et d’autre d’une aube, wintrados 6= wextrados.
De plus, comme les fluides sont visqueux, on a w(M) = 0 (adherence). Ainsi, la theorie qui suit
est une theorie approchee.
2.3 Principe de quantite de mouvement angulaire
Le principe de quantite de mouvement angulaire s’ecrit :
d
dt
∫∫∫V
OM ∧ (ρv)dV =
∫∫∫V
∂
∂t
[OM ∧ (ρv)
]dV +
∫∫S
[OM ∧ (ρv)
]v.ndS =
∑Γext(O)
(2.8)
On fait l’hypothese que le regime est quasi-permanent, c’est-a-dire que ∂/∂t = 0. Considerons un
volume de controle fluide V limite par une surface fermee S =⋃6i=1 Si en pointille sur la figure 2.7.
S 2
S 1
S 3
S 4
S 5S 6
M
n 2
O
Fig. 2.7 – Volume fluide de controle autour du rotor.
Calculons le terme ∫∫S
[OM ∧ (ρv)
]v.ndS
de la relation de conservation de quantite de mouvement 2.8.
Introduction 23
— Sur S5 et S6, n5 = −n6 donc la contribution est nulle.
— Sur S3 et S4, on a∫∫S3∪S4
[OM ∧ (ρv)
]v.ndS =
∫∫S3
[OM ∧ (ρv)
]u.ndS +
∫∫S4
[OM ∧ (ρv)
]u.ndS
(2.9)
car v = u + w et w.n = 0. De plus, si l’on fait l’hypothese que l’aube est de faible epaiseur,
alors, u3 = u4, w3 ' w4 ⇒ v3 ' v4 et n3 ' −n4. On en deduit que∫∫S3∪S4
[OM ∧ (ρv)
]v.ndS ' 0 (2.10)
— Enfin, on trouve :∫∫S
[OM ∧ (ρv)
]v.ndS =
∫∫S1∪S2
[OM ∧ (ρv)
]v.ndS (2.11)
Calculons maintenant le terme∑Γext(O) =
∫∫S
OM ∧ t(M)dS
de l’equation 2.8. t(M) = −pn designe la contrainte au point courant M.
— Sur S5 et S6,∫∫S5∪S6
OM ∧ t(M)dS = 0 car n5 = −n6.
— Sur S3 et S4,∫∫S3∪S4
OM ∧ t(M)dS = Crotor→fluide.
— Sur S2 (ou S1),∫∫S2
OM ∧ t(M)dS =∫∫S2
OM ∧ (−p2n2)dS avec OM = R2n2 d’ou∫∫S1∪S2
OM ∧ t(M)dS = 0
Ainsi, on trouve la relation qui existe entre le bilan de quantite de mouvement angulaire et le
couple qu’exerce le rotor sur le fluide :∫∫S1∪S2
[OM ∧ (ρv)
]v.ndS = C (2.12)
En multipliant les termes de l’equation 2.12 par ω et en utilisant la propriete du produit mixte :
ω.(OM ∧ ρv) = OM.(ρv ∧ ω) = ρv.(ω ∧OM) = ρv.u
D’ou l’expression de la puissance hydraulique :
Pext = C.ω =
∫∫S1∪S2
(ρu.v)v.ndS (2.13)
Comme u et v sont constants sur S1 et S2, que −∫∫S1
v1.n1dS =∫∫S2
v2.n2dS = qv et que
Pext = ρgqvHth, on en deduit que :
Hth =u2.v2 − u1.v1
g(2.14)
On voit donc que Hth est directement liee aux triangles des vitesses et donc a la configuration
(dessins des aubes). Hth ne depend pas du fluide vehicule.
Remarque 1 : Si u et v ne sont pas constants sur S1 et S2, on prend une valeur moyenne.
C’est le cas des pompes a helices par exemple.
Remarque 2 : On trouve le meme resultat pour les turbines avec un signe −, c’est-a-dire que
Hth = (u1.v1 − u2.v2)/g.
24 Introduction
2.4 Notions de charge relative
On a Hth = Hs−He, donc Hs− u2.v2g = He− u1.v1
g . Comme ui.vi = ui.(ui + wi) = u2i + uiwi,
Hi −ui.vig
=piρg
+ zi +w2i − u2
i
2g(2.15)
en posant H1 = He et H2 = Hs. On appelle la charge relative, la quantite :
Hr =p
ρg+ z +
w2 − u2
2g(2.16)
et on a alors,
Hr(2) = Hr(1) (2.17)
La charge relative se conserve dans une turbomachine.
2.5 Caracteristique d’une pompe centrifuge
2.5.1 Caracteristique theorique
Compte tenu de la configuration d’une pompe centrifuge (2.5), on peut concevoir que l’ecoule-
ment est radial en R1. On admet qu’il reste radial a l’entree de S1, d’ou le triangle des vitesses a
l’entree 2.8.
w 1 v 1
u 1
v n1β 2
Fig. 2.8 – Triangle theorique a l’entree.
On a u1.v1 = 0 d’ou :
Hth =u2.v2
g(2.18)
w 2 v 2
u 2
v n2β 2
Fig. 2.9 – Triangle theorique a la sortie.
u2.v2 = u22 + u2w2 cos(β2) (2.19)
Introduction 25
Comme on a w2 = vn2/ sin(β2), vn2S2 = qv et ω = 2πN avec N le nombre de tour par seconde, on
peut ecrire :
Hth =(2πR2)2
gN2 +
2πR2
gS2
cos(β2)
| sin(β2)|Nqv (2.20)
Ainsi, la caracteristique theorique Hth(qv, Nfixe) est donnee sur la figure 2.10.
H th
q v
β<π/2
β=π/2
β>π/2
Fig. 2.10 – Caracteristique theorique d’une pompe centrifuge.
2.5.2 Caracteristique reelle
Perte par choc
A la sortie de S2, on installe des elements fixes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliser
le fluide vers la sortie de la pompe (figure 2.11).
q v
u 2
v 2w 2 β 2
a b c
v 2
w 2
u 2
β 2β
2
v 2w 2
u 2
Fig. 2.11 – Redresseurs N fixe.
— Pour le cas a, on voit que l’ecoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produit
pour un debit qv = qa (debit d’adaptation).
— Pour le cas b, le debit qv > qa et il se produit un choc entre l’ecoulement et les redresseurs.
Il y a donc des pertes de charge par choc. De meme, dans le cas c, ou qv < qa.
A l’entree de S1, on a le meme scenario, sauf que le choc se fait a l’entree de l’aube.
Comme les pertes de charge s’ecrivent en Kq2v et comme il n’y a pas de perte de charge par
choc pour le debit d’adaptation qa, on admet que les pertes de charge par choc s’ecrivent :
∆Hchoc = Kc(qv − qa)2 (2.21)
avec Kc un coefficient de perte de charge par choc.
26 Introduction
q v
u 1
v 1w 1β 1
a b c
v 1w 1
u 1
β 1β
1
v 1w 1
u 1
Fig. 2.12 – a : qv = qa, b : qv > qa et c : qv < qa.
Perte par frottement et par singularite
L’ecoulement du fluide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une perte
de charge par frottement visqueux analogue a celle rencontree dans les tubes. Pour simplifier, on
prend une loi de type rugueux (Moody) :
∆Hf = Kfq2v (2.22)
De plus, l’ecoulement depuis l’entree a la sortie traverse plusieurs singularites : coudes, elar-
gissement, changement de directions complexes, etc ... Ces singularites causent aussi des pertes de
charge singulieres qu’on modelise par :
∆Hs = Ksq2v (2.23)
d’ou la perte de charge par frottement et singularite :
∆Hfs = Kfsq2v (2.24)
avec Kfs = Kf +Ks.
On appelle alors la perte de charge interne ∆Hi :
∆Hi = ∆Hchoc + ∆Hfs (2.25)
et la charge nette Hn de la pompe est
Hn = Hth −∆Hi (2.26)
Le rendement interne est donne par :
ηi =Hn
Hth(2.27)
Ainsi, on en deduit la caracteristique reelle de la pompe figure 2.13.
En general, on trace Hn et ηi sur la meme courbe. La partie ascendante de Hn peut conduire
a une instabilite de pompage.
2.5.3 Bilan de rendements
Le bilan d’energie peut-etre schematise comme suit figure 2.14.
Sur la cascade d’energie, on distingue :
Introduction 27
0 2 4 6 8 100
5
10
15
qv (x10−2 m3/s)
H (
m)
Hth
∆ Hchoc
∆ Hfs
Hn
qa
qc
Fig. 2.13 – Caracteristique reelle a N fixe.
Cωρgq H v th
transfert
p m
ρgq ∆H v i
ρgq H v n
Fig. 2.14 – Cascade de l’energie dans une pompe.
— Cω la puissance disponible sur l’arbre fournie par le moteur.
— pm la puissance perdue par frottement mecanique dans les paliers.
— ρgqvHth la puissance theorique.
— ρgqv∆Hi la puissance perdue par choc et frottement visqueux.
— ρgqvHn la puissance reellement recuperee par le fluide.
On introduit donc trois types de rendement :
— Rendement mecanique : ηm = ρgqvHth/Cω.
— Rendement interne ou hydraulique : ηi = Hn/Hth. Ce rendement peut atteindre 90% pour
les pompes de grandes puissances.
— Rendement total : η = ηmηi. Ce dernier prend en compte tous les types de pertes aussi bien
mecanique qu’hydraulique.
28 Introduction
2.6 Pompes a helices
L‘’ecoulement est principalement axial (helicoıdal dans la roue). Le fluide entre par un convergent
et ressort par un divergent appele diffuseur. La figure 2.15 presente le schema de principe.
distributeur redresseur
pales
M
R m
ω
Fig. 2.15 – Schema de principe d’une pompe a helice.
Une coupe de la pale au point M au rayon moyen Rm conduit a la construction du triangle des
vitesses figure 2.16.
distributeurs fixes
pales
redresseurs fixes
v n1
v 1
u 1
w 1
α 1
γ 1
β 1
u 2
v n2
v 2
α 2
γ 2w 2
β 2
Fig. 2.16 – Triangle des vitesses dans une pompe a helice.
On a :
u1 = u2 = Rmω et vn1 = vn2 =qvS
(2.28)
Dans certaines configurations (notamment en turbine), les distributeurs sont orientables, ainsi
que les pales de l’helice. Les angles les plus pertinents sont les angles qui indiquent les directions
des distributeurs et des pales par rapport a la direction principale de l’ecoulement, c’est-a-dire α1
et γ2, comptes algebriquement. Dans ce cas, on a :
gHth = u2.v2 − u1.v1 (2.29)
ce qui donne :
gHth = u[u+ vn(tan(γ2)− tan(α1))] = u
(u+ 2vn
sin(γ2 − α1)
cos(γ2 + α1) + cos(γ2 − α1)
)(2.30)
Introduction 29
Comme on sait que u ∝ N et vn ∝ qv, on retrouve :
Hth =(2πRm)2
gN2 +
2πRmgSm
Nqv(tan(γ2)− tan(α1)) (2.31)
Selon les valeurs de γ2 et de α1, la caracteristique theorique a l’allure suivante :
H th
q v
tan(γ )-tan(α )>0 2 1
tan(γ )-tan(α )=0 2 1
tan(γ )-tan(α )<0 2 1
Fig. 2.17 – Caracteristique theorique pour N fixe.
En realite, il y a des pertes par chocs a l’entree de la pale. Ces derniers peuvent etre limites
si la direction de w1 est la meme que la direction principale de la pale, i. e. si γ1 = γ2. Pour α1
donne et une vitesse de rotation N donnee, il existe un debit qa qui satisfait cette condition. A la
sortie, il faut eviter les chocs sur les redresseurs qui ont comme role de rendre l’ecoulement axial.
La condition ideale de sortie est donc α2 = 0. Pour qa donne, il existe un N qui permet d’avoir
α2 = 0. En conclusion, pour α1 donne, il existe qa et N pour qu’il n’y ait pas de choc. Etant donne
les nombreux parametres que l’on peut faire varier (qv, N , α1 et γ2), il est difficile de donner une
forme a l’expression de ∆Hchoc.
Les pertes par frottement sont aussi difficiles a quantifier. La figure 2.18 donne des exemples
de l’allure des caracteristiques reelles d’une pompe a helice.
H n η ηH n
q v q v
80%
80%
zoneinstable
Fig. 2.18 – Exemples de carcateristiques.
2.7 Problemes generaux
2.7.1 Point de fonctionnement
Le point de fonctionnement F se trouve a l’intersection de la caracteristique du circuit C(qv) et
de la charge nette de la pompe Hn(qv) (figure 2.19). Ce point de fonctionnement fournit le debit
de fonctionnement qfonct et le rendement de fonctionnement ηfonct.
30 Introduction
H nF
C(q ) v
η
q v
η fonct
q fonct
H
Fig. 2.19 – Point de fonctionnement.
2.7.2 Hauteur d’aspiration et amorcage
E
S
crepine
h
h asp airz
Lorsque la pompe est pleine d’air sans debit, sa mise en fonc-
tionnement fait monter le niveau d’eau d’une hauteur h.
v = 0 ⇒ pS − pE = ρairgHn(0) et pS = patm
p+ ρeaugz = cste dans l’eau : patm + 0 = pE + ρeaugh d’ou
h =ρairρeau
Hn(0)
Pour que la pompe s’amorce, il faut hasp ≤ h.
⇒ hasp ≤ρairρeau
Hn(0)
Exemple : si Hn(0) = 50 m ⇒ hasp ≤ 6.25 cm car ρair ' 1.25 kg/m3.
Les consequences sont les suivantes :
— Il faudra prevoir des dispositifs d’amorcage dans le cas ou la pompe est situee au dessus
du niveau du reservoir amont. Cela peut se faire, soit par remplissage manuel du corps de
la pompe, soit par remplissage avec un reservoir d’amorcage ou encore avec une pompe
auxiliaire (pompe de gavage). On peut aussi ajouter une crepine d’aspiration avec un clapet
anti retour pour eviter le desamorcage a l’arret.
— Dans le cas ou la crepine d’aspiration n’est pas assez immergee, il se produit une admission
partielle de l’air a partir de la surface libre. Ceci a pour consequence une chute de la hauteur
de refoulement et du rendement. Cela ne doit pas etre confondu avec un phenomene de
cavitation.
2.7.3 Groupement de pompes : serie et parallele
Serie
P 1 P 21 2 3q v
'
q v 1 3P
Introduction 31
Le debit traversant chaque pompe q1 = q2 = qv est le meme et H1 = H2 − Hn1(qv), H2 =
H3 −Hn2(qv) donc
H1 = H3 − (Hn1(qv) +Hn2(qv)) (2.32)
d’ou la caracteristique equivalente (figure 2.20).
Parallele
P 1
P 2
1 2q v
q 1
q 2 '
q v 1 2P
En negligeant les pertes de charge a la bifurcation (1) et a la jonction (2), on a Hn1 = Hn2,
mais qv = q1 + q2, d’ou la caracteristique figure 2.20.
(s)
H n2
H n1
H eq
q v
H
(p)
H n2
H n1
H eq
q v
H
q critique
Fig. 2.20 – Caracteristiques de deux pompes en serie (s) et en parallele (p).
Remarque : Branchee sur un circuit conduisant a qv < qcritique, la pompe 2 fonctionnera en
regime turbine.
2.7.4 Cavitation - rudiments
La cavitation apparaıt lorsque la pression du fluide devient egale a la pression de vapeur satu-
rante psat. C’est donc un phenomene d’ebullition sous faible pression a temperature ordinaire. Au
point ou la pression devient egale a psat une bulle de vapeur se forme.
Cavitation locale
A
B
Rωv
bulles
pA + ρv2
2 ' pB + ρu2
2 , or u = Rω et v u, donc pB ' pA − ρ (Rω)2
2 . Cela implique que la
pression pB diminue quand ω augmente. Ainsi, lorsque pB = psat, il y a formation de bulle de
32 Introduction
vapeur. Les bulles de vapeur sont transportees par l’ecoulement et des qu’elles arrivent dans une
zone ou la pression est legerement superieure a la pression de vapeur saturante, elles implosent
en des temps tres brefs (microseconde). Pour une bulle de 1 mm de rayon, cela correspond a une
vitesse locale du fluide de l’ordre de 1 km/s ! Les vitesses sont donc tres grandes au voisinage du
point d’implosion et on enregistre des variations de pression de quelques centaines de bars. Les
parois sont donc soumises a des efforts enormes et des coups de belier tres destructeurs. Il faut donc
faire travailler les turbomachines dans des conditions ou il n’y a pas d’apparition de cavitation.
Si la cavitaion apparaıt, on injecte des bulles d’air en petite quantite dans le fluide. Ces bulles
compressibles servent d’amortisseurs et permettent l’elimination de bruits et de vibrations.
Cavitation globale
Lorsque la pompe n’est pas en charge ou en charge, il arrive qu’au point A d’entree, p(A) = psat.
Dans ce cas, il y a cavitation globale a l’entree de la pompe. Dans les deux cas, on entend un bruit
caracteristique de cailloux roules 1.
Fig. 2.21 – Photo : National Research Council of Canada, Institute for Ocean Technology (NRC-IOT).
2.8 Etude dimensionnelle et similitude
L’etude dimensionnelle permet d’avoir une representation sous forme adimensionnelle et de
mettre en evidence les nombres sans dimensions a respecter lors de l’examen de la similitude. A
titre d’exemple, si on fait des essais sur une petite maquette et que l’on souhaite extrapoler les
resultats pour le prototype, il faut que les nombres sans dimensions pertinents soient les memes
pour le prototype et la maquette.
Dans la configuration de la figure 2.22, on cherche la loi :
gH = F (qv, N,D, ρ, µ, L1, l2, . . . , α1,α2, . . .) (2.33)
1. En TD de mecanique des fluides, on montre comment calculer la pression a l’entree A d’une pompe.
Introduction 33
T, (C) psat, (kpa)
0 0.611
10 1.227
20 2.337
30 4.242
40 7.375
50 12.34
60 19.92
70 31.16
80 47.35
90 70.11
100 101.33
Tab. 2.1 – Pression de vapeur saturante de l’eau.
P
D
N
H
q v
Fig. 2.22 – Configuration pour l’etude dimensionnelle.
On choisit des grandeurs fondamentales D, N , ρ (determinant non nul) et on construit le tableau
suivant :
D N ρ gH qv µ Li αi
L 1 0 -3 2 3 -1 1 0
M 0 0 1 0 0 1 0 0
T 0 -1 0 -2 -1 -1 0 0
Exemple :
ΠLi =Li
DαNβργ⇒
α− 3γ = 1
−β = 0
γ = 0
⇒ α = 1, β = 0, γ = 0
et donc ΠLi = Li/D.
Suivant la meme methode, on construit :
— Le pouvoir manometrique :
m = ΠgH =gH
N2D2(2.34)
34 Introduction
— Le pouvoir debitant :
δ = Πqv =qv
ND3(2.35)
— Le nombre de Reynolds :1
Re= Πµ =
µ
ρND2(2.36)
La relation 2.33 s’ecrit, d’apres le theoreme de Vashy-Buckingham :
m = F (δ, Li/D,αi) (2.37)
car en general, les ecoulements sont suffisamment rapides pour que 1/Re → 0. Ainsi, pour des
machines geometriquement semblables, si δ1 = δ2, alors m1 = m2. On appelle donc m et δ les
invariants de Rateau. Par consequent, une seule caracteristique m = f(δ) suffit a determiner les
caracteristiques reelles de toutes les machines geometriquement semblables.
Si on s’interesse a la puissance P de deux machines 1 et 2, on a :
P1
P2=ρ1q1(gH1)
ρ2q2(gH2)⇒ P1/(ρ1N
31D
51)
P2/(ρ2N32D
52)
=δ1
δ2
m1
m2(2.38)
Or si δ1 = δ2 ⇒ m1 = m2, donc P/(ρN3D5) est aussi un invariant. De meme pour le couple
P = Cω ∝ CN , C/(ρN2D5) est un invariant. On remarque que le rendement η est aussi un
invariant.
En pratique, on a un effet d’echelles (figure 2.23).
ηm
δ δ
D 1 D 2
D 1D 2
Fig. 2.23 – D1 > D2.
2.9 NPSH (Net positive Suction Head)
Cette notion permet de mieux dimensionner la hauteur d’aspiration qui est d’une grande im-
portance quand :
— Le liquide est volatile ou a temperature elevee.
— Le liquide est stocke sous vide.
Un bon fonctionnement de la pompe est caracterise par le NPSH qui sert a definir la pression
necessaire a l’entree de la roue pour avoir en tout point du fluide (y compris a l’interieur de la
pompe) une pression superieure a la pression de vapeur saturante psat de facon a eviter la cavitation.
Introduction 35
Cette quantite est donnee par le constructeur sous l’appelation NPSH requis. Elle tient compte de
la chute de pression que subit le fluide lors de son acceleration a l’entree de la roue.
E
u E
p E
p
u∆p >0 f
Fig. 2.24 – u > uE donc p < pE .
Le NPSH requis est le supplement minimal de pression qu’il faut ajouter a psat au niveau de
l’entree de la pompe pour avoir p(M) > psat, ∀M a l’interieur de la pompe. En conclusion, la
pompe fonctionne correctement si :
ptE ≥ psat +NPSHrequis (2.39)
qui peut s’ecrire aussi :
NPSHrequis ≤ ptE − psat (2.40)
ou NPSHrequis est donne par le constructeur et ptE−psat est le NPSH disponible, calcule a partir
de l’installation.
Exemple de calcul de NPSH disponible
E
E
h 1
h 2
A
Az
On a :
pA + ρgzA +1
2αAρv
2A = pE + ρgzE +
1
2αEρv
2E −∆pconduite
Le plus souvent vA vE , donc :
ptE = pE +1
2αEρv
2E = pA + ρg(zA − zE)−∆pconduite (2.41)
Comme NPSHdisp = ptE−psat et si on divise l’equation 2.41 par ρg pour obtenir une expression
qui fait intervenir les charges, on obtient :
NPSHdisp(m) = HA − hsat + zA − zE −∆Hconduite (2.42)
36 Introduction
ou HA = pA/ρg et hsat = psat/ρg. ∆Hconduite represente les pertes de charge dans la conduite.
Si pA = patm, alors au niveau de la mer, HA = 10.33 m et a 1500 m, HA = 8.6 m. hsat est
fonction de la temperature.
Si le NPSH disponible est insuffisant, on peut :
— Diminuer la temperature pour abaisser hsat.
— Diminuer les pertes de charge ∆Hconduite en augmentant la section des tuyaux et en ouvrant
les vannes.
— Augmenter h1 = zA − zE .
— Diminuer h2 = |zA − zE |.— Diminuer la vitesse de rotation de la pompe.
2.10 TD : Pompes
2.10.1 Repartion de pompes sur un oleoduc
Une conduite cylindrique horizontale de diametre d = 0.5 m et de rugosite moyenne e =
0.2 mm, transporte une huile lourde de viscosite dynamique µ = 0.35 Pa.s et de masse volumique
ρ = 920 kg/m3. La circulation de l’huile dans loleoduc est assuree par des pompes placees tous les
14 km sur la conduite :
1. En supposant l’ecoulement d’huile laminaire dans la conduite, donner l’expression de la
perte de charge par unite de longueur ∆H/L en fonction du debit volumique qv (dans cette
expression, les autres parametres auront ete remplaces par leur valeur numerique).
2. On utilise des pompes du type n°1 (caracteristiques jointes). Determiner le debit d’huile
dans l’oleoduc et verifier l’hypothese faite en 1.
3. On remplace les pompes precedentes par des pompes de type n°2 (caracteristiques jointes)
en conservant le meme debit. Quelle devra etre la nouvelle distance entre deux pompes
successives ?
4. Sans tenir compte de l’investissement, quelle est la solution la plus economique en fonction-
nement ?
Introduction 37
2.10.2 Choix d’une pompe par similitude
Une pompe de diametre D = 0.25 m tournant a 1450 tr/min a les caracteristiques suivantes :
On dispose de pompes geometriquement semblables de diametres 0.3 m, 0.25 m, 0.22 m et
0.19 m pouvant tourner a 1750, 1450 et 1150 tr/min.
1. Quel diametre et quelle vitesse de rotation doit-on choisir pour obtenir un debit de 0.0523 m3/s
et une hauteur nette de 15.4 m ?
38 Introduction
2. Calculer la puissance absorbee (ou puissance utile Pi) par la pompe choisie au point de
fonctionnement de la question 1.
(—) Hn et (− −) η. Pompe D = 0.25 m, N = 1450 tr/min.
2.10.3 Etude d’une pompe centrifuge
Une pompe centrifuge debite 24 litres d’eau par seconde sous une hauteur nette Hn = 27 m
avec un rendement manometrique η = 75%.
On admet que la perte de charge interne totale ∆Hi vaut 5 fois l’energie cinetique de l’eau dans
son mouvement relatif a la sortie de la roue (vitesse relative W2). L’eau entre radialement dans la
roue. Le diametre exterieur de la roue est D2 = 0.20 m et la section utile a la sortie S2 = 0.2D22.
1. Calculer les valeurs numeriques de la vitesse relative W2 et de la vitesse debitante V2d a la
sortie de la roue.
2. Tracer le triangle des vitesses a la sortie et calculer l’angle de sortie β2 = (~U2, ~W2).
3. A partir de la relation d’Euler, calculer la valeur numerique de la vitesse d’entrainement U2
et en deduire la vitesse de rotation N de la roue.
2.10.4 Etude d’une pompe multicellulaire
Une pompe multicellulaire est constituee par 8 roues de diametres exterieur et interieur D2 =
40 cm et D1 = 20 cm. Ces roues sont disposees en serie et tournent a 3000 tr/min.
Introduction 39
1. Vide d’eau, a quelle hauteur cette pompe peut-elle aspirer l’eau dans la conduite d’aspiration
(on admettra qu’a debit nul, le rendement manometrique est de 50%).
2. Le diffuseur est trace pour annuler les pertes par choc (point d’adaptation) lorsque les
vitesses relatives et absolues sont egales en module a la sortie de la roue (V2 = W2). Dans
ce cas, le rendement manometrique vaut 90% et l’entree dans la roue s’effectue radialement.
Calculer la hauteur nette au point d’adaptation.
3. L’angle reel de sortie de l’eau des aubes est β2 = 150° et la largeur des roues a la sortie vaut
2 cm, la section des aubes occupe 10% de la section de sortie. Calculer le debit et la puissance
de la pompe au point de fonctionnement precedent ainsi qu’au point de fonctionnement
correspondant a une hauteur manometrique nulle.
4. Tracer la courbe de rendement manometrique de la pompe. En deduire le rendement maxi-
mal. Calculer la vitesse specifique de chaque roue au point ou le rendement est maximal.
2.10.5 Exemple d’utilisation du NPSH (R. Joulie, Mecanique des fluides ap-
pliquee)
Pour irriguer des jardins on utilise l’eau d’un canal dont le niveau se trouve a 2 m en dessous
de l’axe horizontal de la pompe, qui doit debiter 170 m3/h d’eau. Dans ces conditions, le NPSH
requis est de 6.5 mCE. Entre le canal et la pompe on doit installer une canalisation de 80 m de long
en tube bitume de rugosite 0.5 mm, comprenant un coude a 90° de coefficient de perte de charge
k1 = 0.26, une crepine - filtre place a l’extremite de la conduite, donc immerge dans le canal -, et
un clapet de pied - pour maintenir la conduite et la pompe pleines d’eau (question d’amorcage) -
dont le coefficient global de perte de charge est k2 = 0.9. Le NPSH disponible impose le choix du
diametre de conduite, sachant bien que le prix depend de cette dimension. Determiner le diametre
minimal - donc le moins couteux - a donner a cette conduite, parmi les valeurs commerciales : 100,
125, 150, 200, 300 (mm). La temperature de l’eau ne depassant pas 20°C dans le canal, on prendra
pour pression de vapeur saturante 2338 Pa, pour masse volumique 998 kg/m3 et pour viscosite
cinematique 10−6 m2/s. Pour le coefficient de perte de charge lineaire le long de la conduite, utiliser
l’abaque (2.25).
40 Introduction
Fig. 2.25 – Coefficient de perte de charge λ(Re,ε).
Chapitre 3
Turbines hydrauliques
3.1 Generalites
Les turbines sont a l’inverse des pompes des machines a fluides capables d’en extraire de
l’energie. Le fluide cede donc de l’energie dont une partie sera recuperee sur l’arbre de la turbine
sous forme d’energie mecanique : P = Cω. Du point de vue du fluide, la puissance mecanique Pmest negative. En changeant le signe de Pm, on obtient une quantite positive Pi appelee puissance
interne ou puissance indiquee :
Pi = ρqv (u1.v1 − u2.v2) (3.1)
en utilisant les memes notations que dans le chapitre pompes.
En general, on classe les turbines en deux categories.
3.1.1 Les turbines a action
La diminution de la charge est due exclusivement a la perte d’energie cinetique :
∆H = ∆
(v2
2g
), orH ' v2
2g+
p
ρg⇒ ∆p = 0 (3.2)
On definit alors le degre de reaction par :
r =p2 − p1
ρgHou
p2 − p1
ρN2D2(3.3)
et ici r = 0. Toute l’energie cinetique du fluide est disponible dans un ou plusieurs jets et le passage
est tangentiel.
3.1.2 Les turbines a reaction
Dans ce cas, r 6= 0, l’energie hydraulique transmise se presente sous forme d’energie cinetique
et d’energie de pression. Le transfert d’energie de pression necessite une grande surface de contact
entre le fluide et la roue. C’est pourquoi le rotor et les aubes sont noyes dans le fluide.
42 Introduction
3.2 Bilan d’energie
H p
H r
H G— HG : hauteur de generatrice.
— Hp : hauteur de perte (perte de charge reguliere
et singuliere).
— Hr : hauteur residuelle a la sortie de la turbine,
le fluide dispose d’une energie ρgqvHr qui n’est
pas recuperee sur l’arbre de la turbine.
On appelle la hauteur nette :
Hn = HG −Hp −Hr (3.4)
Toute cette energie (Hn) ne sera pas integralement transferee au rotor. En effet, en traversant
les organes fixes et mobiles, le fluide perd de l’energie par frottement et par choc. On designe ces
pertes par perte de charge interne ∆Hi. Seule l’energie restante (hauteur interne) est transferee au
rotor :
Hi = Hn −∆Hi (3.5)
L’energie disponible au rotor est :
Ciω = ρgqvHi (3.6)
ou Ci designe le couple interne. Sa puissance mecanique disponible en bout d’arbre est :
Cω = Ciω − Pf (3.7)
ou Pf est la puissance dissipee par frottement au niveau des paliers.
H G
H n H i
hydraulique mecanique
C ω/(ρgq ) i v Cω/(ρgq )
v
H p
H r
∆H i
P /(ρgq ) f v
Fig. 3.1 – Diagramme de transfert d’energie pour une turbine.
Le bilan d’energie est illustre par le diagramme 3.1. Ce diagramme definit plusieurs rendements :
Introduction 43
— Le rendement interne (ou manometrique) : ηi = Hi/Hn. Ce dernier rend compte des pertes
hydrauliques.
— Le rendement mecanique : ηm = Cω/Pi = C/Ci. Ce rendement rend compte des frottements
mecaniques.
— Le rendement total : η = Cω/ρgqvHG. Ce rendement rend compte de la dissipation et de
l’utilisation faite de l’energie hydraulique disponible.
Le fonctionnement nominal est en general choisi lorsque le rendement total est maximum,
c’est-a-dire quand Hp +Hr + ∆Hi est minimum.
3.3 Turbine a action
Dans cette categorie, un jet libre impacte sur des augets ou des aubes profilees, fixees sur la
peripherie de la roue mobile. Ces jets exercent une force sur les augets en mouvement de rotation
qui est transformee en couple et puissance mecanique sur l’axe de la turbine.
Les turbines a action sont caracterisees par le fait que l’energie transformee au niveau des
aubages est entierement sous forme d’energie cinetique. Le transfert d’energie entre l’eau et l’aubage
a lieu a pression constante, generalement a la pression atmospherique. La roue de la turbine est
denoyee ou partiellement denoyee (cross-flow) et tourne dans l’air.
Dans cette categorie, on trouve la turbine Pelton, la turbine Crossflow (Banki-Mitchell), la
roulette de dentiste (dental drill), etc ...
3.3.1 La turbine Pelton
Elle travaille a debit relativement faible sous une hauteur de chute elevee (300 m a 1200 m,
voire davantage) avec une grande vitesse de rotation.
Schema de principe
deflecteur
roue
v
jetauget
ω
aiguille
alimentation
H G
Fig. 3.2 – Turbine Pelton
Le jet exerce une force F sur l’auget qui conduit a un couple moteur qui fait tourner la roue
de la turbine. L’injecteur est relie au reservoir (HG) amont par une conduite forcee.
L’aiguille coulisse dans la partie convergente de l’injecteur soit par une commande manuelle soit
par un servo-moteur. Le deplacement de l’aiguille fait varier la section de sortie et par consequent
le debit qv = vS (v vitesse du jet et S section du jet). En effet, on a :
44 Introduction
v2
2g= HG −∆Htuyaux −∆Hinjecteur
Comme HG est tres grand et que le tuyau est long, v '√
2g(HG −∆Htuyaux).
Quand on veut arreter rapidement la turbine Pelton, on ne ferme jamais brusquement la vanne
amont ou l’injecteur en raison des coups de belier qui pourraient endommager la conduite d’amenee,
mais, on devie le jet grace a un deflecteur. Ensuite, on ferme lentement l’injecteur. Le deflecteur
doit etre fixe solidement pour resister aux efforts souvent enormes exerces par le jet.
Exercice : Calculer F en fonction de v et S.
vFS
La roue est a passage tangentiel et le transfert se fait a la peripherie de la roue dans des augets
en nombre et forme calcules. Le jet frappe des augets de forme coquille symetrique. L’angle d’entree
β1 doit etre faible ce qui conduit a construire une arete d’entree tres affutee, dont l’usure constitue
le probleme principal.
L’angle de sortie β′2 = π−β2 doit etre egalement faible. Cependant, un retour complet (β′2 = 0)
de jet provoque un phenomene de talonnage qui diminue le rendement. Le talonnage est du a
l’impact du jet sortant sur l’extrados de l’auget suivant.
v 1 u
u
w 2
β’ 2
β 1
Fig. 3.3 – Coupe de l’auget d’une turbine Pelton.
Le nombre de tours specifique Ns est defini par :
Introduction 45
Ns =NP1/2
ρ1/2(gHG)5/4(3.8)
Pour les turbines Pelton, Ns = 0.0025→ 0.08. Le meilleur rendement est obtenu pour environ
Ns ' 0.08. Attention : ces valeurs sont donnees avec N en tr/min et P en chevaux. Si la
vitesse specifique est calculee avec d’autres unites, les valeurs numeriques donnees ici doivent etre
converties.
Il est aussi important de definir le rapport 2R/d entre le rayon de la roue R et le diametre du
jet d. Pour que le rendement soit convenable, il faut que 9 < 2R/d < 30 avec une valeur optimale
de 12. On peut montrer que Ns ' 0.2d/2R.
Si la roue est munie de plusieurs jets n, sa puissance totale est n fois plus grande et son nombre
de tours specifique Ns,√n fois plus grand. n peut atteindre 6, mais en pratique, les turbines Pelton
possedent 2 a 4 jets.
46 Introduction
Introduction 47
48 Introduction
Caracteristique de la turbine Pelton
L’ecoulement dans l’auget peut se schematiser comme sur la figure 3.3. On en deduit le triangle
des vitesses.
v 1
u 1 w 1
w 2 v 2
u 2
β 2
A l’entree, β1 = 0 et a la sortie β2 ' π si β′2 ' 0. On a alors, u1 ' u2 et |u1| ' |u2| = Rω = u.
La puissance interne est donnee par :
Pi = ρqv (u1.v1 − u2.v2) (3.9)
et donc
Pi = ρqv [uv − u2.(u2 + w2)] = ρqv[uv − u2 − u2w2 cos(β2)
](3.10)
La charge relative entre 1 et 2 se conserve :
p1
ρg+w2
1 − u21
2g=p2
ρg+w2
2 − u22
2g(3.11)
Si le degre de reaction r = 0, alors p1 = p2 ' patm et u1 = u2 donc w1 = w2 = v − u et
Pi = ρqvu(v − u)(1− cos(β2)) (3.12)
Cela montre que le meilleur transfert a lieu pour β′2 = 0. Mais dans ce cas, on a le phenomene
de talonnage. En general, on construit les augets avec β′2 ∼ 4 a 7.
Si on suppose que v est fixee ('√ρgHn), qv est fixe (ouverture de l’injecteur fixe), u etant
proportionnel a N , alors :
Pi = AρqvN(Nmax −N) (3.13)
ou A = (2πR)2(1−cos(β2)) et Nmax = v/(2πR). Nmax correspond a la vitesse de rotation theorique
d’emballement. Dans ce cas, v = u, ce qui signifie que l’auget va a la meme vitesse que le jet. Il
n’y a donc pas de transfert d’energie. On en deduit les caracteristiques des turbines Pelton.
P i C i
q v
q v
NNN max N max
Fig. 3.4 – Caracterisques de turbines Pelton.
Introduction 49
On note que Pi = Ciω et donc Ci = A′ρqv(Nmax − N). De plus, si v est fixe, alors Nmax l’est
aussi. Le rendement interne ηi = Hi/Hn est proportionnel a Pi. Le rendement maximal a donc lieu
pour u ' v/2 et ηi ∼ 1. qv est fixe par l’ouverture de l’injecteur et par la hauteur generatrice. Le
debit est donc independant de N .
NN max N
q v3
q v2
q v1
q vη i
N /2 max
Remarque 1 : On remarque que le couple est maximum au demarrage et que la vitesse d’em-
ballement reste finie (v). Elle est fixee par la hauteur generatrice HG aux pertes de charge
pres.
Remarque 2 : En raison du frottement du fluide sur les parois de l’auget qui conduit a une
perte de charge interne et a w2 < w1, on trouve que ηmax est obtenu pour u/v legerement
inferieur a 1/2.
Remarque 3 : Dans les grosses turbines Pelton dont la roue peut atteindre plusieurs metres de
diametre, la puissance maximale reellement obtenue depasse les 90% de la valeur theorique
(1/2)ρqvv2 et on realise des machines qui fournissent 40000 chevaux par roue soit 29.44 MW .
Remarque 4 : La hauteur de chute varie entre 40 m et plus de 1000 m. Cela entraine des
vitesses de rotation elevees.
3.3.2 Turbine Crossflow
Cette turbine est aussi appelee turbine a flux traversant et turbine de Banki-Mitchell. C’est
une machine a action ou l’eau traverse deux fois la roue. C’est une machine de construction simple
et son utilisation est tres repandue dans les pays en voie de developpement. Le schema de principe
est donne sur la figure 3.5.
Elle est constituee de :
— Un injecteur de section rectangulaire (largeur l) equipe d’une vanne papillon pour regler le
debit qv.
— Une roue (diametre D) en forme de tambour munie d’aubes cylindriques profilees qui sont
relativement elastiques et qui sont source de bruit a cause des chocs periodiques de l’eau
sur les aubes. La roue est autonettoyante parce que l’eau la traverse deux fois.
— N est generalement faible ce qui necessite un multiplicateur a engrenage ou a courroie pour
le couplage au generateur.
50 Introduction
Fig. 3.5 – Turbine cross-flow
— L’injecteur et la roue sont souvent divises en 2 secteurs de largeur 1/3 et 2/3 qui peuvent etre
mis en fonctionnement separement ou ensemble. Avec ce systeme, il est possible d’obtenir
un rendement satisfaisant (ηmax = 80% a 83%) sur toute la plage de debits (figure 3.3.2).
On donne quelques formules empiriques.
— Pour le debit :
qv = 0.25αlD
2
√2gHn (3.14)
Introduction 51
α est en radian, π/2 ≤ α ≤ 2π/3 donc lD = 1.13 a 0.75qv/√Hn.
— La vitesse de rotation :
ω = 0.45√
2gHn2
D(3.15)
d’ou D = 38√Hn/N , l = 0.02 . . . 0.03qvN/Hn. N est en tr/min.
— l/D = 0.3 . . . 4.
— La vitesse d’emballement est egale a 1.8 fois la vitesse nominale (∼ Pelton).
— La frequence principale de vibration est f = nombred′aubes× (N/60).
— Il y a entre 24 et 32 aubes.
3.3.3 Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill)
Ce type de turbine a action est couramment utilise avec des gaz. Son principe de fontionnement
est donne sur la figure 3.6.
Fig. 3.6 – Images tirees de Fundamentals of Fluid Mechanics (5eme edition), Munson Young Okicshi, Ed.
John Whiley & Son (2006).
52 Introduction
3.4 Turbines a reaction
3.4.1 Organes communs
Pour ce type de turbines, on utilise a la fois l’energie cinetique et l’energie de pression. Cette
derniere necessite pour le transfert une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C’est
pourquoi les aubes sont noyees. Deux principes sont a la base de leur fonctionnement.
— La creation d’un tourbillon a l’aide d’une bache spirale d’aubages directeurs (directrices)
ou des deux a la fois.
— La recuperation du mouvement tourbillonnaire par les aubes d’une roue mobile en rotation
qui epousent les filets d’eau afin de leur donner une direction parallele a l’axe de rotation.
Les aubages se comportent comme une aile d’avion. La portance qui en resulte induit un couple
sur l’arbre de la turbine et fait avancer l’aube a une vitesse d’entrainement u.
portanceui
w
Dans cette categorie de turbines, on distingue :
— La turbine Francis.
— La turbine Helice.
— La turbine Kaplan (helice a pales orientables meme pendant le fonctionnement).
Le systeme d’alimentation est presque le meme pour les trois types de turbines. Il est constitue
d’une bache spirale et d’un distributeur actionne par un cercle de vannage. La bache spirale est
raccordee a la conduite amont et elle est en general sous la forme de colimacon.
Introduction 53
Fig. 3.7 – Bache spirale du lac Hodges (Canada) et schema de la turbine Francis de la centrale de
Martigny-Bourg (Suisse).
54 Introduction
Le distributeur sert a regler le debit. Il est constitue par une serie de directrices profilees toutes
solidaires les unes des autres et actionnees par le cercle de vannage. Ces distributeurs servent
egalement a fixer l’angle d’entree. Le principe de fonctionnement est illustre par la figure 3.8.
Introduction 55
Fig. 3.8 – Roue de turbine Francis. Cercle de vannage, distributeurs fermes et ouverts et vue schematique
d’une turbine a reaction de type Francis.
Les turbines Kaplan ont un nombre de pales compris entre 3 et 8. Les pales sont orientables.
56 Introduction
La mecanique de commande des pales oblige, lorsque le nombre de pales devient important (6–8)
a augmenter le rapport du diametre moyen au diametre D de la roue.
Nombre de pales chute (m) Dm/D
3 2–3 0.38
4 3–15 0.40
5 15–20 0.45
6 20–25 0.50
7 a 8 ≥ 30 0.60
Fig. 3.9 – Roue de turbine Kaplan.
A la sortie de la turbine a reaction, l’eau possede toujours une certaine energie cinetique qu’on
peut recuperer en partie grace a un diffuseur qui est constitue d’une canalisation evasee conduisant
l’eau vers le canal (ou lac) de fuite.
Fig. 3.10 – Diffuseur.
Introduction 57
58 Introduction
3.4.2 Triangle des vitesses
Turbine Francis
Turbine a helice
3.4.3 Caracteristiques generales
Ce sont les memes calculs que pour les pompes.
Hn = Hth + ∆Hchoc + ∆Hf et η =Hth
Hn(3.16)
Introduction 59
0q
v
H
Hth
∆ Hchoc
∆ Hf
Hn
0q
v
η
Fig. 3.11 – N et ouverture fixes.
Exemple de courbes caracteristiques a N fixe et ouverture de vannage variable.
60 Introduction
Caracteristique a charge constante et N variable.
Introduction 61
Caracteristique a charge constante, N et ouverture variables.
62 Introduction
Exemples de caracteristiques. ns = nP 1/2/H5/4n avec n en tr/min, P en chevaux et Hn en metre.
Introduction 63
Diagramme de selection d’une turbine.
3.4.4 Diffuseur
Le diffuseur (figure 3.10) sert a recuperer de l’energie cinetique a la sortie de la turbine.
64 Introduction
1 2
3
4turbine
diffuseur
z T
L’axe de la turbine est situe a zT positif ou negatif. Si on sort directement a l’atmosphere
p2 = patm et zT = 0. Il reste une charge residuelle Hres = v22/2g. On a P ∝ H1 − H2 avec H1
donne. On obtient donc une puissance maximum pour H2 minimum. S’il n’y a pas de diffuseur,
H2 =patmρg
+ zT +v2
2
2g(3.17)
et avec diffusueur :
H2 =p2
ρg+ zT +
v′222g
(3.18)
avec v′2 ∼ v2. On a donc interet a avoir p2 le plus faible possible, mais tel que p2 ≥ psat pour eviter
la cavitation. Pour zT donne, la hauteur residuelle est mesuree par Hr = (patm − p2)/ρg.
On peut egalement diminuer la cote zT (negatif) en placant la turbine sous le niveau du lac de
fuite. Dans ce cas :
H2 = H3 + ∆Hreg + ∆Hsing (3.19)
H3 = H4 +v2
3
2g(3.20)
H4 =patmρg
(3.21)
avec ∆Hreg les pertes de charge regulieres dans le diffuseur et ∆Hsing les pertes de charge singulieres
eventuelles. Ainsi,
H2 =patmρg
+ ∆Hreg + ∆Hsing +v2
3
2g(3.22)
et finalement :
p2
ρg=patmρg− zT + ∆Hreg + ∆Hsing +
v23 − v2
2
2g(3.23)
zT etant fixe, v2 l’etant aussi par le debit, pour avoir p2 le plus faible possible il faut minimiser
∆Hreg + ∆Hsing + v23/2g. Ainsi, un bon diffuseur doit avoir :
— Un elargissement important pour que v3 → 0.
— Une perte de charge ∆Hreg faible.
Evidemment, ces criteres sont contraints par le genie civil.
L’importance du diffuseur se chiffre par le coefficient
K =Hr
Hn=
(patm − p2)/ρg
Hn(3.24)
Introduction 65
En utilisant l’equation 3.23, on obtient :
K =zTHn−(
∆Hreg + ∆Hsing
Hn+
1
Hn
v23 − v2
2
2g
)(3.25)
Pour une sortie a l’air libre, zT = 0, ∆H = 0 et v3 = 0, K ' v22/(2gHn). On donne enfin
quelques ordres de grandeur :
— Pour les turbines Francis lentes, K ∼ 10%.
— Pour les turbines Kaplan tres rapides, K ∼ 60%.
3.4.5 Cavitation
La cavitation peut se produire sur les aubes de la turbine, ou a la sortie de la turbine.
Cavitation sur les aubes
L’ecoulement sur une aube dans le repere relatif est analogue a un ecoulement sur une aile
d’avion : depression sur l’extrados, surpression sur l’intrados. La resultante de ces forces conduit
a une force de portance qui fait tourner la roue. Ceci peut etre schematise par la figure 3.12.
portance
ui
w
-
+
AB
C
p sat
+
Fig. 3.12 – Sur la zone AB, p < psat, formation des bulles de vapeur et zone BC, p > psat, implosion des
bulles de vapeur.
Fig. 3.13 – Degats par cavitation sur les aubes d’une turbine Francis.
Cavitation a la sortie de la turbine (torche a vapeur)
A la sortie de la turbine, un tourbillon se forme. Ce dernier ne disparait completement qu’au
point de fonctionnement nominal (v1 axial). Pour des debits inferieurs, entre 40% et 60% du debit
66 Introduction
nominal, le tourbillon de sortie devient tres intense et conduit a des instabilites. L’ecoulement dans
le tourbillon est presque du type vortex libre : u ∼ A/r ⇒ p quand r → 0.
La pression atteint p = psat et les bulles de vapeur apparaissent sous forme de torche (figure
3.14).
Fig. 3.14 – Torche de cavitation.
Plus loin, les bulles implosent violemment. Il s’en suit des chocs (coup de belier) qui peuvent
mettre en danger l’installation. Pour y remedier, on injecte des bulles d’air (par A sur la figure
3.14) qui permettent d’amortir les chocs. Mais cela entraıne une baisse de rendement de 1% a 2%.
3.4.6 Limite de la hauteur d’aspiration
La hauteur d’aspiration Hs d’une turbine a reaction est definie par :
H s H s
H >0 s H <0 s
Si on raisonne en hydrostatique (en negligeant les pertes de charge et les termes v2/2g), la
hauteur d’aspiration theoriquement possible est Hsth = Ha − Hv avec Ha = patm/ρg et Hv =
psat/ρg. Les depressions sur l’aubage font que la pression de vapeur saturante est atteinte pour
Introduction 67
Hs < Hsth. Pour tenir compte de ceci, on utilise en pratique un coefficient σ, le coefficient de
Thoma. On a alors :
Hs = Hsth − σHn (3.26)
au-dela duquel apparaıt une cavitation capable d’endommager la roue. Le coefficient σ est deter-
mine experimentalement (voir figure 3.15).
Fig. 3.15 – Coefficient de cavitation. nq = nq1/2v /H
3/4n avec n en tr/min, qv en m3/s et Hn en m.
Remarque :
— Ha depend de l’altitude. Au niveau de la mer Ha = 10.33 m et a 1500 m, Ha = 8 m.
— Hv depend de la temperature.
3.5 TD : Turbines
3.5.1 Turbine Pelton
On dispose d’un jet de diametre d = 3 cm et de vitesse v = 45 m/s.
1. Calculer la hauteur generatrice HG.
68 Introduction
2. Calculer le diametre de la roue D.
3. Calculer la vitesse de rotation d’emballement Nmax et la vitesse de rotation optimale Nopt.
4. Donner la taille de l’auget.
5. Calculer la puissance maximale Pmax.
6. La roue tourne a N = 600 tr/min, calculer la hauteur residuelle Hr.
7. La roue tourne a N = 1193 tr/min, calculer la hauteur residuelle Hr.
8. Calculer l’effort sur le deflecteur.
v
F
d
o45
3.5.2 Dental drill
La turbine Pelton a air comprime entrainant la roulette de dentiste est schematisee sur la figure
3.16 ci-dessous.
Fig. 3.16 – Dental drill.
La vitesse de rotation est N = 300000 tr/min. On estime le diametre du jet a d = 1 mm
(justifier cette valeur).
1. Calculer la vitesse moyenne u.
Introduction 69
2. On souhaite qu’il n’ait pas de choc a l’entree et que la vitesse de sortie v2 soit axiale. Tracer
les triangles des vitesses. On designe par β2 l’angle de sortie. On note α = (u,v) l’angle
de sortie du jet. Calculer v = f(u,α). et en deduire la puissance Pi par jet (pour α petit).
Calculer le nombre de Mach Ma.
3. On a 8 jets (justifier cette valeur). Quelle est la puissance totale Pit ?
4. Les buses de jet sont alimentees par un reservoir a la pression p et a la temperature T = 18C.
Calculer la pression p en negligeant les pertes de charge et en faisant l’approximation fluide
incompressible.
5. Estimer la temperature de sortie. Qu’en pensez-vous ?
3.5.3 Tourniquet hydraulique
Un tourniquet hydraulique est constitue par un reservoir cylindrique muni a sa base de deux
tuyaux horizontaux diametralement opposes de meme longueur R. Ces bras sont termines par des
orifices qui permettent aux jets de s’echapper sous un angle θ par rapport a la tangente de la
trajectoire de l’extremite. Par reaction, le systeme est mis en rotation.
La hauteur du fluide dans le reservoir est maintenue constante a une hauteur H.
1. Calculer la vitesse relative de sortie w de l’eau en fonction de H, de R et de la vitesse
angulaire ω supposee constante. Quel est le couple C applique au tourniquet ?
2. En admettant qu’il n’ait pas de frottement, quelle vitesse maximale ωm peut atteindre la
machine ? Cette vitesse peut-elle augmenter indefiniment ?
3. Dans le cas general, calculer le rendement energetique de la machine. Discuter suivant les
valeurs de θ.
4. Application numerique : R = 1 m, θ = 0 pour ω = 0 le tourniquet consomme 3 l/s d’eau et
le couple applique est de 2 m.kgf . Quels seront le debit qv, le couple C, la puissance P et
le rendement η, si la vitesse du tourniquet est de 120 tr/min. On prendra g = 10 m/s2.
3.5.4 Etude d’une turbine Francis
Une turbine Francis tournant a N = 600 tr/min absorbe un debit qv = 1 m3/s. Les diametres
d’entree et de sortie sont de 1 m et 0.45 m. Les sections de passage corespondantes sont de 0.14 m2
et 0.09 m2. L’angle α1 de sortie des directrices vaut 15 et l’angle de sortie de la roue est de 135.
Sachant que le rendement manometrique de cette turbine est egal a 78%, calculer la hauteur de
chute nette, ainsi que le couple et la puissance mecanique sur l’arbre (g = 9.81 m/s2).
3.5.5 Turbine aux encheres
Une turbine hydraulique neuve est mise en vente aux encheres. Le rendement est garanti egal ou
superieur a 70% pour des puissances comprises entre 180 kW et 300 kW , ceci pour N = 300 tr/min
et une chute d’eau de 5 m.
1. Quel est le type de cette turbine ?
2. Cette machine interesse un utilisateur qui ne dispose que d’une chute d’eau de 3 m. Quelles
puissances pourra-t-il obtenir dans les memes conditions de rendement et quelle sera la
vitesse de rotation de la machine ?
70 Introduction
3. Desirant obtenir au moins 150 kW , il envisage d’approfondir le bief aval de maniere a porter
la chute a 3.20 m.
(a) En conservant le rendement de 70 %, quels seraient la vitesse de rotation, les puissances
et les debits correspondants qv1 et qv2 ? Le resultat desire peut-il etre atteint ?
(b) L’installation comporte un diffuseur dont la perte de charge est 0.3v20/2g, v0 etant la
vitesse moyenne dans la section d’entree du diffuseur. La surface S0 d’entree du diffuseur
se trouve dans le meme plan que la surface libre aval. Peut-on craindre la cavitation dans
les conditions donnees par le tableau 2.1 (S0 = 1.05 m2, altitude 0 m et temperature
20C) ?
4. La roue mobile est a passage axial et offre une section constante S0. Un distributeur fixe la
precede et lui envoie l’eau dans une direction independante du debit et faisant un angle de
70 avec le plan de la roue a son diametre moyen Dm = 1.10 m.
(a) Construire sur ce diametre les triangles des vitesses de part et d’autre du rotor dans les
conditions definies precedemment.
(b) En admettant que le rendement maximal soit atteint pour qv = (qv1 + qv2)/2 et qu’il
s’obtient lorsque la vitesse absolue de sortie est axiale, calculer ce rendement maximal.
On admettra dans les calculs que le rendement mecanique de la machine est egal a 1.
Chapitre 4
Notions theoriques sur les eoliennes
Nomenclature et relations usuelles
R : rayon de la pale λ0 = RωV1
: vitesse specifiquer : distance a l’axe d’une section de pale
considereeλ = rω
V1: vitesse specifique locale
l(r) : longueur de la corde de la section de
pale situee a la distance r de l’axe
F : force axiale exercee par l’air sur les pales
(poussee)
M : moment du couple moteur
B : nombre de pales du rotor ω : vitesse de rotation du rotorθ : angle de vrillage
α : angle d’incidence ou d’attaque
φ : angle d’inclinaison avec φ = θ + α
Pelec : puissance electrique
P = F.V ’ : puissance captee par les pales
Pu = M.ω : puissance mecaniqueV1 : vitesse du vent en amont de l’eolienne
V2 : vitesse du vent en aval de l’eolienne
V ’ : vitesse du vent traversant les pales
Cp = P0.5ρAV 3
1: coefficient de puissance avec
A la surface balayee par le rotor
CM = M0.5ρARV 2
1=
Cp
λ0: coefficient de mo-
ment
4.1 Le vent
Le vent est defini par sa direction et sa vitesse. Ces deux grandeurs sont variables dans le temps
(turbulence, variations saisonnieres,...) et dans l'espace (topologie du terrain,...).
4.1.1 Variation de la vitesse du vent dans le temps
Les phenomenes instantanes : turbulence du vent
La vitesse du vent et sa direction peuvent varier tres rapidement. En moins d'une seconde,
l'intensite du vent peut doubler et sa direction changer de 20°. Lorsque les fluctuations en direction
sont trop rapides, il est impossible pour une eolienne d'avoir son axe aligne en permanence dans
la direction du vent, en raison de l'inertie de la machine. Il est donc important de tenir compte de
ces variations qui sont les fluctuations les plus genantes.
De plus, un vent a rafales imposera des contraintes qu'il faudra prendre en compte dans le
calcul du support de l’eolienne, la plupart des systemes de regulation ayant une inertie largement
superieure a la duree d'une rafale.
72 Introduction
Plusieurs facteurs contribuent a determiner les variations du vent :
— le temps qu'il fait
— la topographie du terrain
— les obstacles.
Ces variations de la vitesse du vent font varier la production energetique de l'eolienne bien que
l'inertie du rotor compense, dans une certaine mesure, les variations les plus courtes. On a interet
a placer le rotor en dehors de toute zone turbulente et a une hauteur suffisamment elevee pour que
le gradient de vitesse dans le sens vertical ne soit pas trop important.
Les phenomenes journaliers
Les vents subissent les fluctuations journalieres dues a des effets convectifs. La chaleur specifique
du sol etant inferieure a celle de l'eau, la terre s'echauffe plus rapidement que la mer sous l'effet
du rayonnement solaire. Ainsi, on peut parler de :
Brise de mer et brise de terre
Fig. 4.1 – Illustration de la brise de mer (A) et de la brise de terre (B).
En journee, la terre se rechauffe plus rapidement que la mer, ce qui provoque un soulevement
de l'air chaud qui s'etend ensuite vers la mer. Ainsi, une depression se cree pres de la surface
de la terre, attirant l'air froid provenant de la mer, c'est la brise de mer (Figure 4.1.A). Le
soir, le phenomene s'inverse, la terre se refroidissant plus vite que la mer c'est la brise de terre
(Figure 4.1.B).
Les vents de montagne Les regions montagneuses donnent naissance a beaucoup de pheno-
menes climatologiques parmi eux la brise de vallee. Le matin, les sommets sont rechauffes
avant les vallees. L'air commence alors a s'elever vers le sommet de la montagne, produisant ce
que l'on appelle une brise montante. La nuit, le phenomene s'inverse et une brise descendante se
produit. Les vents s'ecoulant le long des versants des montagnes peuvent etre tres violents.
Introduction 73
Les phenomenes saisonniers
La vitesse et la direction du vent varient en fonction des zones de haute et de basse pression.
Ces aires anticycloniques et cycloniques sont liees a la position du soleil par rapport a l'equateur,
ainsi le vent subit une variation annuelle plus ou moins cyclique. En France, la vitesse du vent est
plus importante en hiver que pendant les mois d'ete.
4.1.2 Les variations de vitesse de vent dans l'espace
La repartition geographique du vent au sol
Le vent est plus fort sur les oceans que sur les continents. Cette disparite s'explique notamment
par le relief et la vegetation qui freinent le mouvement de l'air. Aussi, les zones generalement les
plus favorables pour les sites eoliens sont situees en bordure de cotes sur les continents.
De plus, certaines regions sont connues pour la regularite de leur vent : les alizes de part et
d'autre de l'equateur, les moussons en Asie du Sud-est,...
La vitesse du vent en fonction de l'altitude (Cisaillement)
La vitesse du vent depend essentiellement de la nature du terrain au-dessus duquel se deplacent
les masses d'air. En effet, la reduction du vent aupres du sol est due a la friction exercee par la
vegetation, les obstacles et les batiments. Les gradients de vitesse sont donc plus ou moins marques
en fonction de la topologie du terrain. Habituellement, la variation de la vitesse avec l'altitude est
representee par la loi :
V1
V2=
(h1
h2
)α(4.1)
V1 et V2 representent les vitesses de vent horizontal aux hauteurs respectives h1 et h2. Cette loi
est une loi statistique qui repose sur de nombreuses observations. Generalement, h2 est voisin de
10 m (hauteur moyenne des anemometres dans les stations meteorologiques), α est un coefficient
qui varie de 0,10 a 0,40.
Cette variation avec l'altitude peut egalement etre representee par une loi logarithmique en
introduisant la rugosite du terrain par le parametre h0 :
V1
V2= ln
(h1
h0
)/ln
(h2
h0
)(4.2)
La loi logarithmique donne les meilleurs resultats jusqu'a 30 a 50 m de hauteur au-dessus du sol
mais au dela de la couche limite, la premiere relation est la plus utilisee.
L'exposant α caracterise le terrain comme dans le tableau ci-dessous :
Nature du terrain Inegalite du sol h0 en m Exposant α
Lisse, Plat : neige, glace, mer, herbes courtes 0,001 – 0,02 0,10 - 0,11Rugosite moderee, peu accidente : champs et pa-
turages, cultures0,02 – 0,3 0,15 - 0,30
Rugueuse, Accidente : bois, zones peu habitees 0,3 - 2 0,20 - 0,27
Tres accidente : villes, immeuble eleves 2 - 10 0,27 - 0,4
Avec α = 0.096lgh0 + 0.016(lgh0)2 + 0.24.
74 Introduction
Les sites les plus interessants pour la recuperation d'energie eolienne sont les sites peu ou pas
accidentes pour lesquels l'exposant α est faible. On beneficie dans ce cas de vitesses du vent pres du
sol elevees et la variation de la vitesse de vent avec l'altitude est faible (la vitesse de vent en haut
et en bas de la machine sont sensiblement les memes), ce qui a pour consequence de diminuer les
contraintes cycliques sur les pales du moteur eolien (d'autant plus important lorsque le diametre
de l'helice est grand).
Influence du relief sur l'intensite du vent
L'intensite du vent est influencee par le relief et tous les obstacles isoles rencontres par le vent.
Le relief peut etre a l'origine d'acceleration locale du vent (passage de collines par ex.) mais aussi
de zones de forte turbulence et de decollement de couche limite (phenomenes defavorables). La
zone de turbulence creee par un obstacle s'etend sur une distance d'environ trois fois la hauteur
de cet obstacle, cette turbulence est plus forte derriere l'obstacle que devant, on veillera donc a
limiter la presence d'obstacles aux abords d'une eolienne, en particulier dans la direction des vents
dominants (devant l'eolienne).
4.1.3 Etude statistique du vent
A la lumiere des informations precedentes, on voit que plusieurs informations sont determi-
nantes dans l'etude d'un site eolien :
— vitesse moyenne du vent
— direction moyenne du vent
— la duree des periodes de vent sur l'annee pour evaluer la production annuelle et les durees
de vent improductif.
On peut en premier ressort s'appuyer sur la rose des vents etablie par chaque station meteorologique
locale.
La direction d'ou vient le vent est repartie ici sur 360° (figure 4.2). Ainsi, le Nord est par
convention indique en haut du diagramme (360°), l'Ouest est a 270°, le Sud a 180° et l'Est a 90°.
Au centre du diagramme, se trouve un cercle a l’interieur duquel on peut lire 29.6. Ce nombre
correspond au pourcentage de temps annuel pendant lequel la vitesse du vent a ete inferieure a
1.5 m/s, toutes directions confondues. Ce temps est considere comme une periode de calme.
Tout autour du cercle central, on retrouve une surface bleue. La longueur des traits contenus
dans cette surface, est proportionnelle a la duree annuelle exprimee en pourcentage, pendant la-
quelle les vents de vitesses comprises entre 1.5− 4.5 m/s, ont souffle dans la direction consideree,
avec un ecart maximum de 10°. Le contour suivant est relatif aux vents de vitesses comprises entre
4.5−8 m/s et le dernier plus petit, de couleur orange, correspond aux vents de vitesse superieure a
8 m/s. L’echelle de pourcentage est portee sur la figure. A Nancy, la direction du vent dominante
est Nord-est et Sud-ouest. Si un champ d’eoliennes devait etre installe dans la region, on dispose-
rait les machines, de facon perpendiculaire aux vents dominants, suivant une ligne droite orientee
Sud-est, Nord-Ouest.
Les regimes de vent ainsi que la capacite energetique tendent a varier d'une annee a une autre
(en general d'environ 10 % au maximum) - par consequent, pour obtenir un resultat credible, les
stations basent leurs calculs sur des observations faites sur plusieurs annees.
Dans la suite, nous allons nous interesser aux notions d'aerodynamique regissant le fonctionne-
ment d'une eolienne. L'objectif est d'arriver a construire un modele aerodynamique de l'eolienne
Introduction 75
pour predire son rendement en fonctionnement reel.
Fig. 4.2 – Rose des vents de la region de Nancy fournie par la station meterologique d'Essey-Les-Nancy.
4.2 Notions d'aerodynamique
Nous allons ici introduire brievement les notions d'aerodynamique sur une aile portante. En effet
l'element principal de l'eolienne est la pale. Cette derniere n'est autre chose qu'une aile portante.
Pour dimensionner de facon optimale les principaux elements, il est indispensable d'avoir quelques
connaissances sur les actions aerodynamiques qu'exerce un vent donne sur un profil d'aile.
4.2.1 Definitions
Si on considere le profil d'aile donne sur la Figure 4.3 ci-dessous.
Fig. 4.3 – Schema d’un profil d’aile.
76 Introduction
On appelle bord d'attaque, les points du profil les plus eloignes des points B ou se trouve le
bord de fuite.
AB est appelee la corde l du profil ; AMB represente l'extrados du profil et ANB l'intrados.
Pour tenir compte de l'inclinaison de l'aile par rapport au vent incident (suppose horizontal
sur la figure), on introduit plusieurs angles :
— Angle d'incidence ou d'attaque : angle i forme par la corde et la direction du vent vu par
l'aile
— Angle de portance nulle : angle α0 representant l'angle d'incidence pour lequel la portance
est nulle. Cet angle est generalement negatif pour les profils usuels (represente de cette
facon sur la figure)
— Angle de portance : angle α forme par la direction du vent relatif et la direction de portance
nulle.
En valeur algebrique, α = α0 + i.
4.2.2 Actions de l'air sur l'aile
Usuellement, la resultante aerodynamique exercee par l'air sur l'aile est projetee suivant un
systeme d'axes associes a la vitesse V du vent vu par l'aile. Ceci est illustre sur la Figure 4.4
suivante :
Fig. 4.4 – Forces s’exercant sur un profil d’aile.
— la composante Fz (perpendiculaire a la direction du vent) est appelee la portance
— la composante Fx (parallele a la direction du vent) est appelee la traınee
A partir de cette decomposition, on introduit classiquement deux coefficients sans dimension :
— le coefficient de portance : Cz = Fz12ρAV 2
— le coefficient de traınee : Cx = Fx12ρAV 2
ou A est la surface alaire de l'aile (corde * envergure) et ρ la masse volumique de l'air.
4.2.3 Parametres influant sur les Cz et Cx
Les deux parametres jouant sur les valeurs des coefficients de portance et de traınee pour un
profil d’aile donne sont le nombre de Reynolds et l'incidence de l'aile en regime incompressible.
La Figure 4.5 ci-dessous illustre l'evolution habituelle de ces deux coefficients en fonction de
l'angle d'incidence i a Reynolds fixe.
Introduction 77
Fig. 4.5 – Polaire d’Eiffel d’un profil d’aile.
On constate que pour les faibles incidences, le coefficient de portance evolue de facon quasi
lineaire avec l'angle d'incidence. Pour une incidence donnee, le coefficient de portance atteint
un maximum, c'est la crise de portance. On appelle cet angle d'incidence particulier, l'angle de
decrochage. Sur l'exemple donne, l'angle de portance nulle est bien negatif et vaut environ -5°.
En parallele, le coefficient de traınee passe vers un minimum autour de cet angle pour augmenter
legerement avec l'augmentation de l'incidence.
La courbe portant le coefficient de traınee en abscisse et le coefficient de portance en ordonnee
est appelee la polaire d'Eiffel d'une aille. Elle est generalement graduee en angle d'incidence i.
4.3 Calcul aerodynamique d'une eolienne a axe horizontal
Une premiere theorie permettant d'estimer la puissance d'une eolienne est la theorie de Betz
qui s'applique essentiellement aux machines a axe horizontal.
4.3.1 Theorie de Betz
Cette theorie suppose que l'eolienne est placee dans un air anime a l'infini d'une vitesse amont
V1 et a l'aval d'une vitesse V2.
La puissance mecanique captee par le disque rotor est exprimee par la relation suivante (Fi-
gure 4.6) :
P =1
2ρA1V
31 −
1
2ρA2V
32 =
1
2ρ(A1V
31 −A2V
32
)[W ] (4.3)
(Difference de puissance entre les flux d'air amont et aval au rotor)
En exprimant la conservation de la masse :
ρA1V1 = ρA2V2 = m [kg/s] (4.4)
on obtient ainsi,
P =1
2m(V 2
1 − V 22
)[W ] (4.5)
78 Introduction
Fig. 4.6 – Representation des lignes de courant traversant l’eolienne.
On peut trouver une autre expression de cette puissance, en appliquant le theoreme d'Euler au
tube de courant represente par le jet d’air. Ainsi, la force F qu'exerce l'air sur le rotor s'exprime
par :
F = m (V1 − V2) [N ] (4.6)
donnant lieu a une puissance mecanique convertie par la rotor :
P = FV ′ = m(V1 − V2)V ′ [W ] (4.7)
ou V ′ est la vitesse du vent dans le plan de rotation des pales. Par identification avec les deux
formulations de la puissance recuperee P , on obtient :
V ′ =1
2(V1 + V2) [m/s] (4.8)
Ce qui au final, nous permet d’ecrire la puissance du rotor rapportee a l’aire balayee A par ce
dernier :
P = FV ′ =1
4ρA(V1 + V2)2(V1 − V2) [W ] (4.9)
On peut a partir de cette relation exprimee le coefficient de puissance Cp qui est le rapport
entre la puissance recuperee sur le rotor par la puissance disponible dans le flux d’air base sur la
vitesse du vent et la surface balayee par le rotor :
Cp =14ρA (V1 + V2)2 (V1 − V2)
12ρAV
31
=1
2
(1 +
V2
V1
)2(1− V2
V1
)[−] (4.10)
Si on definit le coefficient d’induction b = V2/V1, on obtient l’evolution du coefficient de puis-
sance (Figure 4.7).
Introduction 79
Fig. 4.7 – Evolution du coefficient de puissance en fonction du rapport des vitesses amont et aval.
En reecrivant le coefficient b comme la fraction de diminution de la vitesse du vent entre la
vitesse amont V1 et celle traversant le rotor V ’ on obtient un nouveau coefficient a :
V ′ = (1− a)V1 (4.11)
On peut montrer que ce coefficient est maximum pour a = 1/3, et que dans ce cas Cp = 16/27 ≈0.596. En reportant cette valeur particuliere dans l’expression de la puissance P , on obtient pour
la puissance maximale susceptible d’etre recueillie, la valeur :
Pmax =8
27ρAV 3
1 [W ] (4.12)
4.3.2 Effets de la rotation
Pour le rotor ideal de la theorie de Betz, il n’y a pas de prise en compte de la rotation dans le
sillage. Or dans la pratique, le sillage possede une certaine rotation qui peut etre prise en compte
en appliquant le theoreme d’Euler pour les machines tournantes en s’appuyant sur les triangles des
vitesses dans les sections entree-sortie du rotor de la Figure 4.8. Si on applique ce dernier sur un
volume de controle infinitesimal d’epaisseur dr, on obtient l’expression de la puissance transmise :
dP = dmωrVθ = 2πr2ρV ′ωVθdr (4.13)
avec Vθ la composante azimutale de la vitesse absolue apres le rotor et V ’ est la vitesse axiale a
travers le rotor. Nous avons vu que la vitesse axiale a travers le rotor peut etre exprimee par le
coefficient d’induction a. De la meme maniere, on definit le facteur d’interference tangentiel a’ et
la vitesse de rotation Vθ dans le sillage par (conservation du moment cinetique) :
80 Introduction
Vθ = 2a′ωr (4.14)
La puissance elementaire s’ecrit donc comme :
dP = 4πρω2V1a′ (1− a) r3dr (4.15)
Fig. 4.8 – Triangle des vitesses pour une section du rotor
Apres integration de 0 a R, on obtient la puissance totale recuperee par le rotor :
P = 4πρω2V1
∫ R
0a′ (1− a) r3dr (4.16)
On voit ici que si on veut maximiser la puissance recuperee, il faut maximiser l’expression :
f(a,a′
)= a′ (1− a) (4.17)
Or si les angles d’attaque locaux sont inferieurs a l’angle de decrochage, ces deux coefficients
ne sont pas independants, on a ainsi :
tanφ =a′ωr
aV1=
(1− a)V1
(1 + a′)ωr(4.18)
Ce qui conduit a la relation entre a et a’ : (ωr/V1)2 a′ (1 + a′) = a (1− a).
L’optimisation conduit donc a :
df
da= (1− a)
da′
da− a′ = 0 (4.19)
et (1 + 2a′) da′
da
(ωrV1
)2= 1 − 2a. Ceci conduit a la relation suivante entre a et a’ optimisant la
puissance recuperee :
a′ =1− 3a
4a− 1(4.20)
Ceci permet finalement d’obtenir le tableau de valeurs suivant :
Introduction 81
a a′ λ = ωr/V1
0,26 5,5 0,073
0,27 2,375 0,157
0,28 1,333 0,255
0,29 0,812 0,374
0,30 0,500 0,529
0,31 0,292 0,753
0,32 0,143 1,15
0,33 0,031 2,63
0,333 0,00301 8,58
A partir de ces relations, le coefficient de puissance optimal peut etre obtenu par integration.
Ceci a ete realise par Glauert pour differentes vitesses specifiques λ0 = ωR/V1 avec une comparaison
avec la limite de Betz de 16/27 (cas qui correspond a a′ = 0). Ces resultats sont reportes dans le
tableau ci-dessous :
λ0 = ωR/V1 27Cp/16
0,5 0,486
1,0 0,703
1,5 0,811
2,0 0,865
2,5 0,899
5,0 0,963
7,5 0,983
10,0 0,987
4.3.3 Prise en compte de l’element de la pale d’helice
Jusqu’a present, la geometrie effective du rotor (nombre de pales B, les lois de vrillage θ (r) et
de corde l (r) et le profil de pale) n’est pas prise en compte. Nous allons ici coupler le theoreme de
quantite de mouvement avec les efforts locaux sur la pale. Nous allons pour cela faire l’hypothese
suivante :
— Chaque element annulaire est independant des autres.
Nous pourrons etablir que :
— la poussee elementaire vaut : dF = 4πrρV 21 a(1− a)dr
— le moment elementaire : dM = 4πρωV1a′(1− a)r3dr = dP/ω
On peut evaluer ces termes en considerant l’ecoulement local autour de la pale en se basant
sur le triangle des vitesses suivant :
82 Introduction
avec θ l’angle de vrillage local de la pale, c’est-a-dire l’angle local entre la corde et le plan de
rotation du rotor. Puis, α est l’angle d’attaque local, c’est a dire l’angle local entre la corde et la
direction du vent relatif, Vrel. Enfin, φ est l’angle d’inclinaison defini par φ = θ + α.
Nous pouvons donc ecrire avec ces definitions que :
L =1
2ρV 2
rell(r)Cz et D =1
2ρV 2
rell(r)Cx (4.21)
pour l’expression des forces de portance et de traınee par unite de longueur, en supposant connus
les coefficients de portance et de traınee. De facon a obtenir une expression de la poussee et du
moment elementaire, il faut projeter ces forces suivant les directions normale et tangentielle au
plan de rotation du rotor. Ce qui conduit a :
pN = L cosφ+D sinφ, pT = L sinφ−D cosφ (4.22)
et
CN = Cz cosφ+ Cx sinφ, CT = Cz sinφ− Cx cosφ (4.23)
Apres quelques calculs, on obtient que :
dF =1
2ρB
V 21 (1− a)2
sin2 φl(r)CNdr, dM =
1
2ρB
V1(1− a)ωr(1− a′)sinφ cosφ
l(r)CT rdr (4.24)
avec B le nombre de pales et l(r) la loi de corde. Par identification, on obtient que les coefficients
d’induction axial et tangentiel doivent satisfaire aux relations suivantes :
a =1
4 sin2 φσCN
+ 1a′ =
14 sinφ cosφ
σCT− 1
(4.25)
ou σ (r) = l(r)B2πr represente la solidite locale du rotor.
Ainsi, l’algorithme de calcul pour determiner la puissance recuperee par le rotor est le suivant :
(1) – Initialisation des coefficients a et a′
(2) – Calcul de l’angle φ
(3) – Determination de l’angle d’incidence local α
(4) – Lecture des coefficients de portance et de traınee
Introduction 83
(5) – Deduction des coefficients normaux et tangentiels
(6) – Calcul des coefficients a et a′ suivant les dernieres expressions
(7) – Reiteration jusqu’a convergence sur les valeurs de a et a′
(8) – Determination des efforts locaux sur l’element considere
Cette approche est la plus simple pour prendre en compte la geometrie du rotor. Pour obtenir
une bonne approximation, il faut cependant faire deux corrections : correction de Prandtl (effets
en bout de pale) et correction de Glauert (effets du decrochage).
4.3.4 Corrections de Prandtl et de Glauert
Correction de Prandtl
Cette correction permet la prise en compte des effets 3D en bout de pale (associes au nombre
de pales). Ceci a pour consequence de modifier la vorticite dans le sillage du rotor. Prandtl a donc
defini un facteur correctif f pour la poussee et le couple elementaire :
dF = 4πrρV 21 a(1− a)fdr dM = 4πρωV1a
′(1− a)r3fdr (4.26)
ou f (facteur de reduction de la circulation) a pour expression f = 2π cos−1(e−m), avec m = B
2R−rr sinφ .
Ceci conduit aux expressions corrigees pour les facteurs a et a′ :
a =1
4f sin2 φσCN
+ 1a′ =
14f sinφ cosφ
σCT− 1
(4.27)
Correction de Glauert
Lorsque le facteur d’interference axial a devient plus grand qu’approximativement 0.4, l’ap-
plication du theoreme d’Euler tombe en defaut. Des relations empiriques ont ete etablies pour
approcher les mesures experimentales, parmi lesquelles :
CF =dF
12ρV
21 2πrdr
=
4a(1− a)f a ≤ 1
3
4a(1− (1/4)(5− 3a)a)f a > 13
(4.28)
ou encore :
CF =dF
12ρV
21 2πrdr
=
4a(1− a)f a ≤ ac4(a2
c + (1− 2ac)a)f a > ac(4.29)
ac vaut approximativement 0.2. A ces expressions, correspond une relation modifiee pour le
coefficient a.
4.3.5 Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale
La conception d’une forme optimale de la pale d’une helice implique que la relation a′ = 1−3a4a−1
correspondant a une puissance maximale soit satisfaite. On peut faire l’hypothese de negliger les
frottements en prenant Cx = 0. Les expressions de a et a′ deviennent :
a =1
4 sin2 φσCz cosφ + 1
a′ =1
4 cosφσCz
− 1(4.30)
En utilisant la relation reliant les deux facteurs d’interference a et a′, on obtient une seconde
relation exprimant le facteur a :
84 Introduction
a =4 cosφ
σCz + 12 cosφ(4.31)
L’egalite des deux expressions de a donne une equation quadratique, dont l’inconnue est le
terme σCz :
(σCz)2 + 8 cosφσCz − 16 sin2 φ = 0 (4.32)
dont la racine acceptable est σCz = 4 (1− cosφ). Ceci donne l’expression optimale de la corde le
long de la pale :
l(r) =8πr
BCz(1− cosφ) (4.33)
Si on reprend la relation donnant l’angle φ, tanφ = (1−a)V1(1+a′)ωr = (1−a)
(1+a′)λ , et en substituant a′,
nous obtenons :
λ =(4a− 1) (1− a)
a
1
tanφ(4.34)
En remplacant a par sa valeur et apres quelques simplifications, on aboutit finalement a la loi de
vrillage optimale :
φ =2
3tan−1 1
λrθ = φ− αopt (4.35)
ou αopt est l’angle d’incidence optimale, qui donne (Cz/Cx)max.
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