字串演算法 string algorithms 本次大綱 1 - 一些基本的字串演算法符號名詞介紹...

字串演算法 String Algorithms

• 本次大綱

• 1 - 一些基本的字串演算法符號名詞介紹• 2 - Rabin Karp 簡介• 3 - 自動機的演算法簡介• 4 - KMP 演算法本體介紹• 5 - 嗚喔好題目

符號• Σ 組成字串的字元集合• |Σ| 組成字串的字元集合大小• Σ* 由 Σ 所組成的所有”有限長度”的字串• ε 空字串屬於 Σ*

名詞• Prefix 一字串的前置

譬如字串 abcccdabc 是他的前置ab 也是他的前置也是 abc 的前置

• Suffix譬如字串 abcccdcccd 是他的前置ccd 也是他的前置也是 cccd 的前置

Rabin Karp Algorithms

• 想法核心：把一個字串看成數字

• 若一個字串 abcdabc• 想法：視為 1234123

• 先不考慮一個字串是否會 overflow• 把字串”轉換成”數字去做比對


• 實作想法：用一個 Table 去實現一個字元的Mapping

• Ex: abcdabcd• →a 對應到 1, b 對應到 2, c 對應到 3, d 對應

到 4

• 所以一個 |Σ| 為 N 的字串• 表示成 N 進位的數字


• 波動拳 ↓ → + A


• 昇龍拳 →↓ → + A


• 這是我自己”實作”的應用

• 如果遊戲你用字串比對是用迴圈去比對招數表，同時間需要的次數一多可能就會慢

• 如此就可能會發生…


• 實作上， Rabin Karp 對於一個產生數字不大 ( 在 INT 或 LONG LONG) 的字串集合有相當大的優勢 ( 譬如遊戲招數 )

• 所以問題應該經由分析之後，才確認採用何種演算法，並不是某一種演算法都一定比較快


• 最後實作細節：• 你可能發現升龍拳跟波動拳字串不一樣長了

• 假設你現在得到數字 x• 比對波動拳用 (x)%(N)^3 ( 有三個按鍵要比對 )• 升龍拳用 (x)%(N)^4( 有四個按鍵要比對 )• 其他相關的細節問題也可以用 modulus 來解決

String Matching With finte automata

• 想法核心：想成一個自動機的狀態轉移

• 初始狀況為 q0• 所有狀況為 Q 這個集合

• 當在一狀況 q 下遇到字元 alpha• 那麼下一個狀態會依循著這新的指令轉移

String Matching With finte automata

• 如果將狀態看成一個數字其實就跟 Rabin Karp 很類似了假設目前狀態是 15456 ，得到新的字元 g ，他代表 7 這個數字，那新的狀態就是 154567

• 那字串比對的目標就是一個 Final State• 假設自動機到了最終狀態那代表已經讀到了一個要

尋找的字串

• 本篇將不再多在此處著墨，有興趣的人可以閱讀Introduction to algorithms 2/e 的 page 916 – page 922

KMP Algorithms

• 核心觀念：將之前比對過的資料充分利用

• 實作資訊：• Si 代表一字串從 S[0]…S[i]• failure function definition : failure[i] 代表最

長 Si 的 prefix 與他自己的 suffix 相符是多少而 failure[i] < i ( 注意這個限制 !)

KMP Algorithms

• fail function diagram( 圖例 )• Ex: Sq = abcwerabc• 則 failure[q] = ?

• 以本例的話 failure[q] = 2• 因為 Sq 的 prefix 最長 S2 與後面 Sq 的 suffix

相等• 雖然 S1 也符合但是 S2 才是最長的

KMP Algorithms

KMP Algorithms

• How to use failure function• 主要字串• 比對字串• 當比對出錯誤時，我們可以怎麼省工夫 ?• 這兩段相同• 你會發現這段字串• 跟綠色字串的關係 ( 繼續 ...)

KMP Algorithms

• 目前的狀況• T’’ =• Sub’ =• 有多少已經比對過 ?• 我們會想知道 Sub ” 已經知道”的 Prefix 最

長可以跟 T’ 的 Suffix 相同的是到哪邊

KMP Algorithms

• 新的比對的狀況

• 我們知道因為上下兩個子字串完全相等• 那這三格是”最長”的 prefix of T’’ 等於

suffix of Sub’• 因此就不會有”更好”的”省略比對”選

擇了

KMP Algorithms

• 新的比對的狀況

• 省略不必要的比對• 我們就拿 Sub 第四個元素重新與 T 第十個元素比對• 你會發現找這個最長的 prefix步驟其實就是• 假設比對到 Sub[j] 不符合的時候• 就可以直接省略比對 failure[j] 個字元並”重新比

對一次”該字元

KMP Algorithms

• 萬一又不符合就不斷重複這樣的步驟

• 一樣省略不必要的比對採用策略一樣是尋找最長的 prefix 與 suffix 相等的情況

• 我們就拿 Sub 第二個元素重新與 T 第十個元素比對• 這樣的步驟將持續到 j = -1 或者 Sub[j] 跟 T[i] 相等

KMP Algorithms

• 狀態的轉移

• 其實這樣的步驟就是在使得狀態轉移• 轉移的是 j ，這樣的動作就像自動機一樣• 當你比對到新的字元• 你一定會進入新的狀態 => 比對成功或者 j

= failure[j] 這樣來省略比對步驟

KMP Algorithms

• 程式碼實現 =>• Part 1 計算目標字串自己的 prefix 跟 suffix

的關係 (Failure function)• Part 2 利用 Failure function 去比對需要比對

的字串

KMP Algorithms

• Failure Function 的實現

• 其實作法跟有 Failure Function 時與主字串比對的動作類似

• 假設已經知道之前的 Failure Function• 那目前的比對可能會產生兩種結果

KMP Algorithms


• 1. 成功比對存入 Failure Function

KMP Algorithms


• 2. 比對失敗進行 j 的狀態轉移，一樣利用之前已經比對過的結果，節省要比對的次數

KMP Algorithms

• Failure Function 的小要點• 依照原本定義，圖片中藍色的段落是可以

重疊 ( 過半 ) 的，不要被圖片迷惑

KMP Algorithms

• 程式碼 (fail function)fail[0] = -1;for(int i = 1, j = -1; i < Sub.size(); i++){

while(j >= 0 && Sub[i] != Sub[j+1]) j = failure[j]; //避免重複比對 if(Sub[i] == Sub[j+1]) j++; // 比對成功failure[i] = j; //紀錄 failure function

}

KMP Algorithms

• 程式碼 (String matching KMP)for(int i = 0, j = -1; i < T.size(); i++){

while(j >= 0 && T[i] != Sub[j+1]) j = failure[j]; //避免重複比對 if(T[i] == Sub[j+1]) j++; // 比對成功if(j == S.size()-1) // 找到了目標字串{

cnt++; // 找到了一次j = failure[j];

}}

KMP Algorithms

好題目

好題目• 題目大意：• 給定一字串 S ，試求最少需要加入幾個字

元在該字串後面，使該字串成為一個回文(palindrome)

• 譬如說 abcba 是一個回文而 abcb 則不是

好題目• 出處 ACM UVA Contest Problem Set 11475 – • Extend to Palindrome

• 網址 http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=26&page=show_problem&problem=2470

好題目• 參考解答：• 設原本字串為 S ，一反轉字串為 S’• 則我們想要知道的是• S’ 字串的 prefix 可以跟 S 的 suffix 相符合到

多長• 這樣一個看似無從下手的問題，就正好是

一個字串比對了，其中可以用 KMP 來實現加速

好題目• 程式參考解答個人網誌網址：• http://robertanders.pixnet.net/blog/post/

27122820

建議閱讀• Introductions to algorithms 2/e page.907- page.932 ( 如果自己覺得自習可以的話 )

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