ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА...

ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ

1. ДЕФОРМАЦИЈСКА НЕОДРЕЂЕНОСТ СИСТЕМА

Основне непознате величине у методи деформације усвајају се параметри генералисаног померања.

У матричној формулацији то су:

померања и

обртања чворова.

Укупан број међусобно независних параметара генералисаног померања представља деформацијску неодређеност система.


У случају раванских система, сваки чвор може да има две компоненте померања, односно укупан број померања система од K чворова је једнак 2n. Број чворова у којима се јавља бар један крут угао обележавамо са (m).


Број међусобно независних параметара померања система (n) једнак је збиру двоструког броја померања чворова (2К) и независних обртања чворова (m) умањен за број спречених односно задатих померања у ослонцима (zo):

n=2К+m-zo

Овим је дефинисана статичка неодређеност носача у тачној методи деформације.

2. МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА

У матричној анализи штап представља основни елемент.

Најједноставнији модел за анализу штапа је модел правог призматичног штапа са чворовима на његовим крајевима.


ОСНОВНЕ СТАТИЧКЕ И ДЕФОРМАЦИЈСКЕ ВЕЛИЧИНЕ

Приказан је прав призматичан штап произвољног попречног пресека, дужине l.

На крајевима штапа се налазе чворови који су означени са i и k.

На левом крају штапа у чвору i постављен је Декартов правоугли координатни систем x, y, z тако да се оса xпоклапа са осом штапа , а осе y и z се поклапају са правцима главних оса инерције попречног пресека штапа. Координатни систем Оxyz се назива локални координатни систем и везан је за штап.


Основне деформацијске величине у чворовима штапа су генералисана померања, односно:

померања u, v, w

обртања x, y, z

око оса x, y, z.

Основне статичке величине у чворовима штапа су генералисане силе, односно силе Nx, Ty, Tz и моменти Mx, My, Mz које одговарају генералисаним померањима.


Генералисана померања у чворовима i и k могу да се прикажу као компоненте вектора qi и qk:

�� =

��

��

��

��

��

��

=> �� = ��

�� = ��

генералисана померања штапа q:

�� = ��

� = �� … ��


Генералисане силе у чворовима i и k могу да се прикажу као компоненте вектора Ri и Rk:

�� = ��

�� = ��

Генералисане силе штапа, као компоненте вектора R:

�� = ��

� = �� … ��


ВЕКТОР ЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА

Као што је познато при одређивању померања и обртања чворова система, спољашњи утицаји који делују дуж појединих штапова могу да се замене концентрисаним оптерећењем у чворовима, односно на крајевима штапа.



Концентрисано оптерећење на крајевима штапа којим се замењују спољашњи утицаји који делују дуж осе штапа се назива еквивалентно оптерећење.

Еквивалентно оптерећење проузрокује иста померања и обртања чворова система као и одговарајући спољашњи утицаји који делују дуж појединих штапова система.

Спољашњи утицаји који могу да делују дуж осе штапа могу бити:

подељена и концентрисана оптерећења

температурне промене t и температурне разлике t



За компоненте еквивалентног оптерећења у чворовима штапа важе исте конвенције као и за генералисане силе, односно, позитивне су ако су орјентисане у смеру одговарајуће координатне осе.

Компоненте еквивалентног оптерећења у чворовима i и k могу да се прикажу као компоненте вектора Qi и Qk:

�� = − ��

�� = ��

а за штап као компоненте вектора Q:

�� = ��

�


МАТРИЦА КРУТОСТИ ШТАПА

Матрица k помоћу које се успоставља непосредна веза између генералисаних сила и генералисаних померања на крајевима штапа назива се матрица крутости штапа.

Матрица крутости је квадратна матрица n-тог реда, где је n број генералисаних померања штапа.

Она је симетрична у односу на главну дијагоналу kij=kji, што је последица Максвеловог (Maxwell) става о узајамности померања.

3. МАТРИЦЕ КРУТОСТИ И ВЕКТОРИЕКВИВАЛЕНТНОГ ОПТЕРЕЋЕЊА

Елементи матрице крутости и вектора еквивалентног оптерећења могу да се одреде на више начина.

Такође ћемо се бавити и проучавањем следећих типова штапова и то:

штап типа к- обострано укљештен штап,

штап типа g - штап који је на једној страни круто, а другој зглобно везан,

штап типа p- обострано злобно везан штап.


ОБОСТРАНО КРУТО ВЕЗАН ШТАП - ТИПА К

Аксијално напрезање

матрица крутости аксијално напрегнутог штапа

�� =��

�1 −1

−1 1



Аксијално напрезање

У случају дејства једнакоподељеног оптерећења po дуж осе штапа вектор еквивалентног оптерећења у матричном облику је

�� =

��

21 1



Приказан је штап дужине l, константног попречног пресека, који је изложен савијању у равни xOy.

Момент инерције попречног пресека штапа је I, а модул еластичности материјала E.

Генералисана померања на крајевима штапа су (ui, vi, i),(uk, vk, k). Конвенција о позитивним смеровима је показана код генералисаних померања, односно сила у чворовима штапа

E,I



Mатрица крутости штапа изложеног савијању има следећи облик:

�� =��

��

12 6� −12 6�6� 4�� −6� 2��

−12 −6� 12 −6�6� 2�� −6� 4��

E,I



Равни призматичан штап може да прими и пренесе спољашње утицаје који делују у равни штапа, односно оптерећење у правцу осе штапа и оптерећење управно на правац осе штапа, као и температуру у правцу осе штапа t и температурну разлику t дуж осе штапа.



Вектор еквивалентног оптерећења:

�� = �� ∆�

ОПТЕРЕЋЕЊЕ

�� = �� =��

2

�� = −��

�, �� =

��

�

�� = −��

�� , �� = −��

��

�� = −��

�� , �� =��

��



Општи израз за матрицу крутости и вектор еквивалентног оптерећења равног призматичног штапа

�� =

��

�0 0 −

��

�0 0

012��

��

6��

��0 −

12��

��

6��

��

06��

��

4��

�0 −

6��

��

2��

�

−��

�0 0

��

�0 0

0 −12��

��−

6��

��0

12��

��−

6��

��

06��

��

2��

�0 −

6��

��

4��

�


ШТАП НА ЈЕДНОМ КРАЈУ КРУТО, А НА ДРУГОМ ЗГЛОБНО ВЕЗАН -ТИПА G

За разлику од обострано укљештеног штапа, штап у коме је на једном крају зглобна веза, моменат у том зглобу је једнак нули.

То омогућава да се број степени слободе за тај штап смањи за један, јер се из услова да је моменат у зглобу једнак нули, елиминишемо обртање у том зглобу.

Приказан је штап који је на левом крају круто, а у десном зглобно везан. Штап има пет степени слободе, и то три у крутој вези i и два у чвору g.


ШТАП НА ЈЕДНОМ КРАЈУ КРУТО, А НА ДРУГОМ ЗГЛОБНО ВЕЗАН -ТИПА G

За случај штапа са константним попречним пресеком матрица крутости постаје:

�� =

��

�0 0 −

��

�0

03��

��

3��

��0 −

3��

��

03��

��

3��

�0 −

3��

��

−��

�0 0

��

�0

0 −3��

��−

3��

��0

3��

��


ШТАП ОБОСТРАНО ЗГЛОБНО ВЕЗАН - ТИПА P

За разлику од обострано укљештеног штапа, штап који је обострано зглобно везан, моменти у том зглобовима су једнаки нули.

То омогућава да се број степени слободе за тај штап смањи за четири. Штап има два степена слободе, и то један у чвору i и један у чвору p.


ШТАП ОБОСТРАНО ЗГЛОБНО ВЕЗАН - ТИПА P

За случај штапа са константним попречним пресеком матрица крутости постаје:

�� =

��

�−

��

�

−��

�

��

�

4. РАВНИ НОСАЧИ

Равне носаче чине штапови који су међусобно везани у чворовима и леже у једној равни, која се назива раван носача.

Код равних носача осе свих штапова са једном у главних централних оса инерције њихових попречних пресека леже у равни носача.

Оптерећење које делује на носач, такође лежи у равни носача. У зависности од начина преношења оптерећења могу бити гредни и решеткасти.


ТРАНСФОРМАЦИЈА ВЕКТОРА ГЕНЕРАЛИСАНИХ СИЛА- ПОМЕРАЊА ИЗ ЛОКАЛНОГ У ГЛОБАЛНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ

У сваком носачу су дефинисана два координатна система:

локални координатни систем и

глобални координатни систем.

Локални координатни систем је везан за штап. Његов почетак је у чвору i на левом крају штапа, а оса x се поклапа са осом штапа, док се осе y и z поклапају са главним осама за моменте инерције Iy и Iz попречног пресека штапа. Одатле следи да сваки штап има дефинисан свој локални координатни систем.



Приказане су компоненте вектора R и момента савијања M у локалном xOy и глобалном XOY координатном систему. Међусобан положај координатних система је дефинисан углом .

Све величине у глобалном координатном систему означићемо звездицом.



разлагањем сила у тачки из локалног xOy у глобални XOYкоординатни систем добија веза:

� = �∗ cos � + �∗ sin �

� = −�∗ sin � + �∗cos�

док су моменти у локалном и глобалном систему исти:

� = �∗



Веза се може показати и у матричном облику:��

=cos � sin � 0

− sin � cos � 00 0 1

�∗

�∗

�∗


ТРАНСФОРМАЦИЈА ВЕКТОРА ГЕНЕРАЛИСАНИХ СИЛА-ПОМЕРАЊА ИЗ ЛОКАЛНОГ У ГЛОБАЛНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ

Матрица T се назива матрица трансформације штапа:

� =

cos � sin � 0 0 0 0− sin � cos � 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos � sin � 00 0 0 − sin � cos � 00 0 0 0 0 1

Везу између генералисаних сила у локалном и глобалном координатном систему можемо приказати:

� = ��∗


Трансформација матрице крутости за штап типа к:

�� =

cos � sin � 0 0 0 0− sin � cos � 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos � sin � 00 0 0 − sin � cos � 00 0 0 0 0 1

где је:��

∗ = ��

матрица крутости штапа типа к у глобалном координатном систему.


Трансформација матрице крутости за штап типа g:

�� =

cos � sin � 0 0 0− sin � cos � 0 0 0

0 0 1 0 00 0 0 cos � sin �0 0 0 − sin � cos �

За штап који је на левом крају круто, а на десном зглобно везан матрица трансформације се редукује тако што брише последња врста и последња колона јер је моменат на десном крају једнак нули. По аналогији, ако је штап на левом крају зглобно везан а на десном круто бришу се трећа врста и трећа колона.

��*= ��

матрица крутости штапа типа g у глобалном координатном систему


трансформација матрице крутости за штап типа p:

�� =cos � sin �

− sin � cos �

где је:

��*= ��

матрица крутости штапа типа у глобалном координатном систему.

ДИРЕКТНО ФОРМИРАЊЕ ЈЕДНАЧИНА СИСТЕМА - ПОСТУПАК КОДНИХ БРОЈЕВА

За добијање система једначина система постоји неколико начина. Један од најједноставнијих и најбржих за решавање помоћу директне методе.

Везу између генералисаних сила и генералисаних померања на крајевима штапа можемо приказати изразом:

�∗�

= �∗�

�∗�

− �∗�

, � = 1,2, … , �

где су R*j вектор генералисаних сила, K*ј матрица крутости система, q*ј вектор генералисаних померања, Q*ј вектор еквивалентног оптерећења који одговара задатим спољашњим утицајима дуж осе штапа, а М укупан број штапова система.


Матрицу крутости система К* и вектор еквивалентног оптерећења система Q* формирамо непосредно полазећи од матрица K*ј и вектора Q*ј, ј=1, 2, ..., М, за поједине штапове система.

Веза између генералисаних сила и генералисаних померања на крајевима штапа може да се прикаже у следећем облику:

��

∗�

��∗� =

��∗�

��∗�

��∗�

��∗�

��∗

��∗ −

��∗�

��∗�

где индекс j означава штап, а индекси i и k крајеве штапа односно чворове.


Поступак се састоји у следећим корацима:

одреде се матрице крутости свих штапова и изврши њихова трансформација у односу на глобални координатни систем

изврши се кодирање (нумерисање) врста и колона матрица штапова према глобалним координатама (генералисаним померањима) чворова. На тај начин, сваки елеменат матрице крутости има два индекса, помоћу којих се одређује положај елемента у матрици система.

ПОСТУПАК КОДНИХ БРОЈЕВА

једначине система- директно формирање једначина система. поступак кодних бројева

Формира се квадратна нула матрица реда N, где је N укупан број степени слободе система. Врсте матрице одговарају генералисаним силама, а колоне генералисаним померањима у чворовима система.

У ову матрицу се уносе елементи матрица крутости појединих штапова на позиције које одговарају њиховим ознакама, односно индексима у глобалном координатном систему. Када се на истој позицији нађу елементи матрица два или више штапова они се сабирају.

На сличан начин се добија и вектор еквивалентног оптерећења Q*.


Разликујемо два случаја контурних услова:

хомогени контурни услови, где су потпуно спречена генералисана померања у ослонцима

нехомогени контурни услови, где су омогућена (задата) генералисана померања ослонаца

5. ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ

Површински носачи могу бити:

равни површински носачи –плоче

просторни површински носачи – љуске

РАВНИ ПОВРШИНСКИ НОСАЧИ –ПЛОЧЕ

Плоче су тела ограничена са две паралелне равни (основе) на растојању h које је мало у односу на друге две димензије плоче

Средња раван плоче је раван која полови висину плоче. При деформацији плоче под оптерећењем ова раван прелази у еластичну површину плоче.


СИЛЕ У ПРЕСЕКУ И ВРСТЕ НАПРЕЗАЊА

Силе у пресеку, слично као и код линијских носача дефинисаћемо преко унутрашњих сила, односно преко одговарајућих напона.

Издвојићемо из плоче елемент са два пресека паралелна са равни zOy на међусобном растојању dx и са два пресека паралелна равни zOx на растојању dy



Усвојени правоугли координатни систем Oxyz има x и y осе у средњој равни плоче, а z оса је орјентисана наниже.

Ако посматрамо раван са нормалом у правцу x осе, напони који се у њој јављају су x,zx,xy.



Укупан број непознатих пресечних сила код плоче осам.

Када се све појављују наведене пресечне силе тада говоримо о сложеном напрезању. Овакво напрезање се може разложити на две врсте напрезања која се засебно третирају.

Када се од свих набројаних пресечних сила појављују само моменти савијања, торзиони моменти и трансверзалне силе,односно Mx, Mxy, My, Tzx, Tzy,тада је плоча напрегнута на савијање.



Ако се јављају само оне силе које леже у средњој равни плоче, односно Nx, Ny, Nxy, тада је плоча напрегнута у својој равни и такво напрезање се у Теорији еластичности назива равним напрезањем.


ПЛОЧЕ НАПРЕГНУТЕ НА САВИЈАЊЕ

Савремену теорију савијања плоча поставио је Кирхоф (Kirchoff) на бази следећих хипотеза:

Линијски елемент управан на средњу раван пре деформације остаје прав, непромењене дужине и управан на деформисану средњу раван (еластичну површину) и после деформације.

Приликом деформације се не мења дужина елемента ни угао између елемената средње равни.

Нормални напон z за равни паралелне са средњом равни, сматрају се малим у поређењу са осталим компоненталним напонима и могу се занемарити.



Плоче се деле у три групе:

Веома танке плоче – мембране, код којих је однос дебљине према мањој димензији приближно

ℎ

�<

1

8÷

1

100

Овакве плоче имају веома малу крутост на савијање, тако да се код њих померања у правцу нормале на средњу раван (угиби), велики у односу на дебљину плоче. У овим плочама се најчешће јавља затезање средње равни које је деформише, па друга хипотеза постаје неодржива. Ове плоче неће бити предмет нашег излагања



Танке плоче, по неким поделама се називају и плоче средње дебљине, имају однос који је приближно .Овакве плоче се најчешће примењују у грађевинарству и за њих важе све три наведене хипотезе. Даља излагања ће се односити на ову групу плоча.

1

8÷

1

100<

ℎ

�<

1

5÷

1

8

Дебеле плоче, код којих је не подлежу наведеним хипотезама јер би такав прорачун довео до грешака у односу на стварно понашање плоче.

ℎ

�>

1

5÷

1

8

ТАЧНА МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЈЕ...2.МАТРИЧНА АНАЛИЗА ШТАПА...

Documents