ラプラス変換概説 閉区間で定義された関数をf(x)とする． lim x!x 0+0 f(x),lim...
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1
§ ラプラス変換概説 閉区間で定義された関数を f (x)とする．
limx!x0 +0
f (x), limx!x0 "0
f (x)が共に存在 して，
limx!x0 +0
f (x) " limx!x0 #0
f (x)であるような点
x0![a,b]が[a,b]の中に高々有限個含まれ
るとき， f (x)は区間 [a,b]で区分的に連続
あるという．
関数 f (x)は [0,+!)に含まれる任意の閉区間で区分的連続であるとする．積分
f (x)e! txdx
0
+"
# が存在（収束）する tの範囲のもとで，
L{ f , x,t} = f (x)e! txdx
0
+"
#
と定義し，これを f (x)のラプラス変換という．単にL { f ,t}とも表す．tをL { f , x,t}
の収束座標という．そしてこの積分が収束する tの範囲を収束域という． f (x)e! tx
0
+"
# dx
が tのある範囲について収束するとき， ラプラス変換 L { f , x,t}は絶対収束するとい
う． tを絶対収束座標という． tのその範囲を絶対収束域という．
例 1.
(i) L {1, x,t} = e! txdx
0
"
# = !1
te! tx$
%&'
()0
+"
=1
t( t > 0 )
(ii) L {x, x,t} = xe! txdx
0
"
# = !1
t21+ tx( )e! tx
$
%&'
()0
+"
=1
t2
( t > 0 )
(iii) L
{e±ax, x,t} = e
±axe! txdx
0
"
# = e!(t !a)x
dx
0
"
# = !1
t ! ae!(t !a)x$
%&'
() 0
"
=1
t ! a( t > ±a )
(iv) L {sinax, x,t} = sinaxe! txdx
0
"
# = !acosat + t sinax
t2+ a
2e! tx$
%&'
()0
+"
=a
t2+ a
2( t > 0 )
(v) L {cosax, x,t} = cosaxe! txdx
0
"
# =!t cosat + asinax
t2+ a
2e! tx$
%&'
()0
+"
=t
t2+ a
2( t > 0 )
(vi) L {eax sinbx, x,t} = sinbx ! e"(t"a)xdx0
#
$ = "bcosbx + (t " a)sinbx
(t " a)2 + b2e"(t"a)x%
&'
(
)*0
#
2
= b
(t ! a)2+ b
2( t > a )
(ⅶ) L {eax cosbx, x,t} = cosbx ! e"(t"a)xdx0
#
$ ="(t " b)cosbx + bsinbx
(t " a)2 + b2e"(t"a)x%
&'
(
)*0
#
= t ! b
(t ! a)2+ b
2( t > a )
(viii) L {cosh!x, x,t} = e! x
+ e"! x
2e" txdx
0
#
$ =1
2"e"(t"! )x
t "!"e"(t+! )x
t +!
%
&'
(
)*0
#
=t
t2!"
2( t > " )
(ix) L {sinh!x, x,t} =e! x " e"! x
2e" txdx
0
#
$ =1
2"e"(t"! )x
t "!+e"(t+! )x
t +!
%
&'
(
)*0
#
=!
t2"!
2( t > ! )
(x)
L{ x ! x ! 2 ,t} = x ! x ! 2 e! txdx
0
"
#
= (-2x + 2)e! txdx
0
1
" + (2x ! 2)e! txdx1
2
" + 2e! txdx
2
#
"
= 2 !2e
" t" e
"2t+ t "1
t2
( t > 0 )
ここで，( ) 内に示された tの範囲がラプラス変換の収束域である．
注意：L { f , x,t} = f (x)e! txdx
0
+"
# で tとして複素数でもよい． t = ! + i" ( ! ," #R ) とす
ると， ei!= 1であるから， e
! tx= e
!" x． そこで，
Re(t) = ! についての制限で積分が
存在する範囲は表される.
L{1, x,t}において， limx!"
e# tx
= limx!"
e# txlimx!"
e#Re(t )x
= 0 ( Re(t) > 0)であるから，
L
{1, x,t} = e! txdx
0
"
# =1
t( Re(t) > 0 )
とかける． (ii)の収束域は Re(t) > 0 ,(iii)の収束域は
Re(t) > ±a ,(iv)・(v)の収束域は
3
Re(t) > 0，(vi)・(vii)の収束域は
Re(t) > a ,(viii)・(iv)の収束域は Re(t) > ! である．
例 2. ラプラス変換 L {ex2
,t}は存在しない． すなわち，いかなる tについても積分が収束しない．
任 意 に 固 定 し た 実 数 t に 対 し て ，
ex2! tx
> ex( t +1 < x )
であるから， t +1 < T であるT について，
ex2 ! txdx
t+1
T
" > exdx
t+1
T
" = eT ! et+1 # +$ (T # +$)
したがって，L {ex2
,t}は存在しない． 十分 0に近い正の数!について，
関数： f! (x) =
1
"( 0 < x < ! )
0 ( ! # x )
$
%&
'&
を考えよう．
Dirac(x) = lim!"+0
f!(x)
とおく．これをディラクのデルタ関数と呼ばれている．x = 0では + !となり，x > 0
では恒等的に 0 という不思議なもので，“関数”と呼べるシロモノだろうか．Schwarz
の超関数として解明されている．
L{ f! (x),t} = f! (x)e" txdx
0
#
$ =e" tx
!dx
0
!
$ =1" e" t!
t!% 1 ( ! % +0 )
すなわち，L {Dirac(x),t}! 1 ( " ! +0 )である．
f! (x)dx0
"
# =1
!dx
0
!
# = 1 （ ! に依存しない），すなわち Dirac(x)dx
0
!
" = 1と考えられる
例 3. f (x)が周期 lの周期関数のとき，L { f (x),t}を求めよ． [解] 仮定から
f (x + nl) = f (x) (n = 0,1,2,!)である．
L { f (x),t} = f (x)e! txdx
0
+"
# = f (x)e! txdx
nl
(n+1)l
#n=0
"
$
この積分で， x = ! + nlと変数変換すると，
f (x)e! txdx
nl
(n+1)l
" = f (# + nl)e! t (#+nl )d#0
i
" = e! tnl
f (#)e! t#d#0
l
"
4
∴
L{ f (x),t} = e! tnl
f (x)e! txdx
0
l
" =
n=0
#
$ f (x)e! txdx
0
l
" e! tnl
n=0
#
$ =1
1! e! tlf (x)e
! txdx
0
l
"
例 4.
L{x! , x,t} ="(! +1)
t!+1
( ここで， !は実数で， ! > "1 )
L{xn , x,t} =n!
tn+1
( nは自然数 )
[解] tx = !と変数変換すると，
L{x! , x,t} ="t
#$%
&'(
0
)
*!
e+" d"
t=1
t!+1 e
+"" (!+1)+1d"0
)
* =,(! +1)
t!+1
また，自然数 nについて，!(n +1) = n!である．
ガンマ関数：!(") = e# xx"#1dx
0
$
%
において， !で微分してみよう．
d!(")d"
=d
d"e# xx"#1dx
0
$
% =&
&"e# xx"#1( )dx
0
$
% = e# xx"#1 log xdx
0
$
%
!" (1) = e# x log xdx
0
$
% で， x = t!と変数変換すると，
!" (1) = t log t + log#( )e$ t#d#0
%
& = t log t e$ t#d#
0
%
& + t e$ t# log#d#
0
%
&
! "# (1) = log t + t L{log x, x,t}， i.e., L{log x, x,t} =!" (1)
t#log t
t
が得られる．
注意： !" (1) = #$ （ ! はカンマ数とよばれていて， ! = 0.57721566490153286061!で
この数が有理数か無理数かは今のところ open problemである．
定理 （ラプラス変換の線形性） 任意の関数 f (x),g(x)について,
L {! f + "g, x,t} = ! L { f , x,t} + ! L{g, x,t} (!,"は任意定数)
[証明] 左辺 = ! f (x) + "g(x){ }e# txdx =0
$
% ! f (x)e# txdx
0
$
% + " g(x)e# txdx =
0
$
% 右辺
定理 L { f (x),t} = F(t)とするとき，
5
(i) L {e
±axf (x),t} = F(t ! a)
(ii) L { f (ax),t} =1
aF
t
a
!"#
$%&
(iii) L { f (x ! a),t} = e!atF(t) (a > 0 , x < aで f (x ! a) " 0 )
(iv) L{ f (x + a),t} = eat F(t) ! e!axf (x)dx
0
a
"#
$%&
'( ( a > 0 )
[証明] (i) 左辺
= e±axf (x)( )e! txdx
0
"
# = f (x)e!(t !a)x
dx0
"
# = F(t ! a)
(ii) ax = !と変数変換すると，左辺 = f (!)e"
t
a
#$%
&'(! d!a
0
)
* =1
af (x)e
"t
a
#$%
&'(x
dx =0
)
* 右辺
(iii)，左辺 = f (x ! a)e! txdx0
a
" + f (x ! a)e! txdxa
#
" = f (x ! a)e! txdxa
#
"
= f (!)e" t (!+a)d!0
#
$ = e"at
f (x)e" txdx
0
#
$ = e"atF(t)
(iv) 左辺 = f (x + a)e! txdx
0
"
# = f ($)e! t ($!a)d$a
"
# = eat
f (x)e! txdx
0
"
# ! f (x)e! txdx
0
a
#%
&'(
)*=右辺
注意： u(x ! a) =0 ( x < a )
1 ( a " x )
#$%
とおくと，(iii)は単に L{ f (x ! a)u(x ! a),t} = e
!atF(t)と表すことができる．u(x ! a)は
単位関数とも呼ばれている．
例 次のラプラス変換を求めよ．
(i) L {sin2 x,t} =L1! cos2x
2,t
"#$
%&'= =
1
2L{1,t} !
1
2 L {cos2x,t}
=1
2
1
t!
t
t2+ 4
"#$
%&'=
2
t(t2+ 4)
L {sin2!x,t} =1
!2
t
!"#$
%&'
t
!"#$
%&'2
+ 4()*
+*
,-*
.*
=2! 2
t(t2+ 4! 2
)
(ii) L {cos2 x,t} = L1+ cos2x
2,t
!"#
$%&=1
2
1
t+
t
t2+ 4
!"#
$%&=
t2+ 2
t(t2+ 4)
6
L{cos2!x,t} =
1
!
t
!"#$
%&'2
+ 2
t
!"#$
%&'
t
!"#$
%&'2
+ 4"
#$%
&'
=t2+ 2! 2
t(t2+ 4! 2
)
(iii) L {cos3 x,t} =Lcos3x + 3cos x
4,t
!"#
$%&=1
4{L{cos3x,t} + 3L {cos x,t}}
=1
4
t
t2+ 9
+3t
t2+ 1
!"#
$%&=
t(t2+ 7)
(t2+ 9)(t
2+ 1)
(iv) L{sin3 x,t} = L! sin3x + 3sin x
4,t
"#$
%&'=1
4[! L{sin3x,t} + 3L {sin x,t}]
=1
4!
3
t2+ 9
+3
t2+ 1
"#$
%&'=
6
(t2+ 9)(t
2+ 1)
(v) L {sin3 x cos x,t} = L !1
8sin4x +
1
4sin2x,t
"#$
%&'= !
1
8L {sin4x,t} +
1
4L{sin2x,t}
= !1
8
4
t2+ 16
+1
4
2
t2+ 4
=6
(t2+ 16)(t
2+ 4)
(vi) L {e±ax sin2 x,t} =
2
(t ! a) (t ! a)2+ 4{ }
(vii)
L{cos!xf (x),t} =Le! ix
+ e"! ix
2f (x),t
#$%
&'(=1
2{L {e+! ix f (x),t} + L{e!" ix f (x),t}}
=1
2{F(t ! i" ) + F(t + i" )}
L{sin!xf (x),t} =Le! ix " e"! ix
2if (x),t
#$%
&'(=1
2i{L {e+! ix f (x),t} " L{e!" ix f (x),t}}
=1
2i{F(t ! i" ) ! F(t + i" )}
ここで，L { f (x),t} = F(t)とする．
(viii)
L{sin(x + a),t} = eat
L{sin x,t} ! e! txsin xdx
0
a
"#
$%&
'(
= eat1
t2+1
+!1+ e! ta (cosa + t sina)
t2+1
"#$
%&'=cosa + t sina
t2+1
7
L{sin(x + a),t} = L{sin x cosa + cos x sina,t} = cosaL{sin x,t} + sinaL{cos x,t}
=cosa
t2+1
+t sina
t2+1
=cosa + t sina
t2+1
関数 f (x)について，十分大きな任意の正の数 x0に対して，適当な正の数!,M をと
ったとき， f (x) ! Me
" x( x0 < x < # )
とできるとき， f (x)は index !の指数型関数であるという．
定理 （ラプラス変換の存在定理） 関数 f (x)は区間 [0,+!)で定義された，任意の部分区間 [a,b]! [0,+")で区分的連続
とし，更に， index !の指数型関数であるとする．そのとき，
f (x)のラプラス変換： L{ f (x), x,t}
は t >!で存在する． [証明] 0 < x
1< x
2である任意の x
1, x
2について，
f (x)e! xtdx
x1
x2
" # f (x) e! xtdx
x1
x2
" # (Me$ x)e
! xtdx
x1
x2
" = M e!(t!$ )x
dxx1
x2
"
=M
t !"e!(t!" )x1 ! e
!(t!" )x2( ) <M
t !"e!(t!" )x1
そこで，任意の正の数 ! に対して，
x! = max x0,1
t !"log
M
#(t !" )
$%&
'()
としたとき，
f (x)e! xtdx
x1
x2
" < # ( x! <x1< x2 )
これは t >!で L{ f (x), x,t}が存在することを意味する．
定理 f (x), !f (x),!, f
(n)(x)は上の定理の仮定を満たしているとする．そのとき，
L{ f
(n), x,t} = t
nL{ f , x,t} ! t
n!1f (+0) + t
n!2"f (+0) +!+ t f
(n!2)(+0) + f
(n!1)(+0){ }
が成立する．ここで， f( j )(+0) = lim
x!+0f( j )(x)を意味する．
8
証明．L { !f , x,t} = lim"#+0x0#+$
!f (x)e% txdx"
x0
& = lim"#+0x0#+$
f (x)e% tx'( )*"
x0+ t f (x)e
% txdx
"
x0
&+
,-
.
/0
= t L{ f , x,t} ! f (+0)
L{ !!f , x,t} = t L{ !f , x,t} " !f (+0)= t { t L{ f , x,t} ! f (+0)}! "f (+0) ∴L{ !!f , x,t} = t
2L{ f , x,t} !{t f (+0) + "f (+0)}
この操作を繰り返せば結果が得られる．
例
(i) L {cosax,t} =1
a
L{(sinax !) ,t} =1
atL{sinax, x,t} " sin(0)( ) =
t
t2+ a
2
(ii)
L{sin2x cos x,t} =
1
3L{(sin
3x !) , x,t} =
1
3tL{sin
3x, x,t} " sin
3(0)( ) =
2t
(t2+ 9)(t
2+1)
定理
L { f (x),t} = F(t)とするとき，L {x
nf (x),t} = (-1)n
dnF(t)
dtn
.
[証明]
dnF(t)
dtn
=dn
dtnf (x)e
! xtdx
0
"
# = (!1)n xnf (x)e
! xtdx
0
"
# = (!1)nL{xn f (x),t}
例
(i) L {x sinax,t} = (!1)d
dtL{sinax,t} = = (!1)
d
dt
a
t2+ a
2
"#$
%&'=
2at
(t2+ a
2)2
L{x cosax,t} = !t
t2+ a
2
"#$
%&'(=
t2 ! a2
(t2+ a
2)2
(ii) L {x3 cosax,t} = (!1)3d3
dx3L {cosax,t} = !
d3
dx3
t
t2+ a
2
"#$
%&'=6(t
4 ! 6t 2a2 + a4 )(t
2+ a
2)
(iii) L {x log x,t} = (!1)d
dtL{log x,t} = (!1)
d
dt!"t!log t
t
#$%
&'(=1
t2(1! " ! log t)
(iv) L {xne!ax ,t} = (!1)ndn
dtnL{e!ax ,t} = (!1)n
dn
dtn
1
t + a
"#$
%&'=
n!
(t + a)n+1
定理 L { f (x),t} = F(t)であるとき，次の公式が成立する．
(i)
L f (u)du,t0
x
!"#$%
&'(%=F(t)
t
9
(ii)
Lf (x)
x,t
!"#
$%&= F(u)du
t
'
(
[証明] (i)
L f (u)du,t0
x
!"#$%
&'(%= f (u)du
0
x
!)
*+,
-.0
/
! e0 txdx = 0
e0 tx
t
)*+
,-.1
f (u)du0
x
!)
*+,
-.dx
0
/
!
= !e! tx
tf (u)du
0
x
"#
$%
&
'(0
)
+e! tx
tf (x)dx =
1
t0
)
" L{ f (x),t} =F(t)
t
(ii)
Lf (x)
x,t
!"#
$%&=
f (x)
xe' txdx
0
(
) = f (x) e'uxdu
t
(
)*
+,-
./dx = f (x)e
'uxdx
0
(
)*
+,-
./t
(
)0
(
) du
= L{ f (x),u}dut
!
" = F(u)dut
!
"
例
(i)
L{cos x + x sin x !1, x,t} = L u cosudu0
x
" , x,t#$%&
'()&=1
tL{x cos x,t}
=1
t(!1)
t
t2+1
"#$
%&'(=
t2 !1
t(t2+1)
2
(ii)
Lsinu
udu, x,t
0
x
!"#$%
&'(%=1
tL
sin x
x,t
"#$
&'(=1
tL{sin x,u}du
t
)
! =1
t
1
u2+1
du
t
)
!
=1
tArc tanu[ ]
t
!=1
t
"2# Arc tan t$
%&'()
(iii)
Lcos!x " cos#x
x,t
$%&
'()= L{
t
*
+ cos!x " cos#x,u} =u
u2+! 2
"u
u2+ # 2
,-.
/01du
t
*
+
=1
2log
u2+! 2
u2+ " 2
#
$%
&
'(t
)
= logt2+ " 2
t2+! 2
定理 （畳込みの原理）
L{ f (x),t} !L{g(x),t} = L f (x " u)g(u)du0
x
# , x,t$%&'
()*'
[証明]
L{ f (x), x,t} !L{g(y), y,t} = f (x)e" txdx
0
#
$%
&'(
)*g(y)e
" tydy
0
#
$%
&'(
)*
= f (x)g(y)e! t (x+ y)
dxdy0
"
#0
"
# = f (x)g(y)e! t (x+ y)
dxdyD
##
10
= f (u ! v)g(v)e! tududv"D## = f (u ! v)g(v)dv
0
u
#$
%&'
()e! tudu
0
*
#
= L f (x ! u)g(u)du0
x
" , x,t#$%&
'()&
例
(i)
L u2ex!udu, x,t
0
x
"#$%&
'()&= L{e
x,t} *L{x2,t} =
1
t !1*2
t2=
2
t2(t !1)
(ii)
L cos(x ! u)sinudu, x,t0
x
"#$%&
'()&= L{cos x,t} *L{sin x,t} =
t
t2+1
*1
t2+1
=t
(t2+1)
2
(iii)
L sin(x ! u)sinhudu, x,t0
x
"#$%&
'()&= L{sin x,t} *L{sinh x,t} =
1
t2+1
*1
t2-1
=1
t4 !1
定理 2 つの関数 f (x),g(x)において，
L{ f (x),t} = L{g(x),t}
ならば， f (x),g(x)の不連続点をの除いた所で f (x)と g(x)は一致する．
[証明] 省略
例 ベータ関数とガンマ関数との関係： B(p,q) =!(p)!(q)
!(p + q)
を証明せよ．
[証明]
L{xq!1,t} "L{x p!1,t} = L (x ! u)q!1u p!1
du, x,t0
x
#$%&'
()*'
L{xq!1,t} "L{x p!1,t} = x
q!1e! txdx
0
#
$%
&'(
)*xp!1e! txdx
0
#
$%
&'(
)*=
1
tq
!q"1e"!d!
0
#
$%
&'(
)*1
tp
+ p"1e"+d+
0
#
$%
&'(
)*
11
=!(q)!(p)
tp+q
=!(q)!(p)
!(p + q)
!(p + q)
tp+q
=!(q)!(p)
!(p + q)L{x
p+q"1,t} = L
!(q)!(p)
!(p + q)xp+q"1
,t#$%
&'(
∴
L (x ! u)q!1u p!1dy, x,t
0
x
"#$%&
'()&= L
*(q)*(p)
*(p + q)xp+q!1
,t#$%
'()
! (x " u)q"1u p"1du
0
x
# =$(q)$(p)
$(p + q)xp+q"1
そこで，この式で x = 1とすれば結果が得られる．
関数 f (x)が次のように級数展開されている場合について考察する．
f (x) = x!
anxn
n=0
"
# ( x < +!で絶対一様収束)
項別微分・積分の公式を用いて，ラプラス変換 L{ f (x),t}を計算しよう．
L{ f (x),t} = x!
anxn
n=0
"
#$%&
'()
0
"
* e+ txdx = an x
n+!e+ txdx
n=0
"
*$
%&'
()n=0
"
# = an L{xn+!,t}( )
n=0
"
#
!L{ f (x),t} = an"(n +# +1)
tn+# +1
n=0
$
%
例 L{sina x ,t}を求めよ
[解]
!
sina x = (!1)n
a2n+1
(2n +1)!xn+1
2
n=0
!
"
!
!L{sina x ,t} = (!1)n
a2n+1
(2n +1)!"# n +
3
2
$%&
'()
tn+
3
2n=0
*
+
ところで，
! n +3
2
"#$
%&'= n +
1
2
"#$
%&'! n +
1
2
"#$
%&'= n +
1
2
"#$
%&'n (
1
2
"#$
%&'! n (
1
2
"#$
%&'=!
= n +1
2
!"#
$%&n '
1
2
!"#
$%&!3
2(1
2)1
2
!"#
$%&=(2n + 1)! *22n+1
n!
!
!L{sina x ,t} = (!1)n
a2n+1
(2n +1)!"1
tn+
3
2n=0
#
$ (2n + 1)! %22n+1
n!=a %
2t
3
2
1
n!&a2
4t
'()
*+,n=0
#
$n
i.e., L{sina x ,t} ==a !
2t
3
2
e"a2
4t
関数 F(t)が与えられたとき，
12
L{ f (x),t} = F(t)
であるような関数 f (x)を
f (x) =L !1{F(t)}
と表す．これを F(t)の逆ラプラス変換という．明らかに
☆ L {L !1{F(t)} ,t} = F(t) , L !1 {
L{ f (x),t} }= f (x)
★ L !1{!F(t) + "G(t)} = ! L !1
{F(t)} + !L !1{G(t)} (!,"は定数）
が成立する．
前出のラプラス変換から，次のことは容易にわかる．
① L !11
t
!"#
$%&
=1 ② L !11
t2
!"#
$%&= x ③ L !1
1
t ± a
!"#
$%&= e
!ax
④L !1a
t2+ a
2
!"#
$%&= sinax ⑤ L !1
t
t2+ a
2
!"#
$%&= cosax
⑥ L !1 2
t(t2+ 4)
!"#
$%&= sin
2x ⑦ L !1 t
2+ 2
t(t2+ 4)
!"#
$%&= cos
2x
⑧ 1
t!+1
"#$
%&'=
x!
((! +1)(! > )1) ⑨ L !1 2! 2
t(t2+ 4! 2
)
"#$
%&'= sin
2!x
⑩ L !1 t2+ 2! 2
t2+ 4! 2
"#$
%&'= cos
2!x ⑪ L !1 b
(t ! a)2 + b2"#$
%&'= e
axsinbx
⑫ L !1 t ! a
(t ! a)2 + b2"#$
%&'= e
axcosbx ⑬ L !1
t
t2 !" 2
#$%
&'(= cosh"x
⑭ L !1!
t2 "! 2
#$%
&'(= sinh!x ⑮ L !1 t
2 ! a2
(t2+ a
2)2
"#$
%&'= x cosax
⑯ L !1 2at
(t2+ a
2)2
!"#
$%&= x sinax
例 次の関数の逆ラプラス変換を求めよ．
(i) 1
(t ! a)(t ! b)(a " b) (ii)
1
(t ! a)n
(iii) t
(t ! a)n
(iv) 1
(t ! a)2(t ! b)
(a " b) (v) t2
(t2+ a
2)2
(vii) 1
(t2+ a
2)2
, 1
(t2+ a
2)3
(viii) 1
t ! kk=1
n
" (ix) t + 2
t2! 2t + 3
(x) 5 + 6t
(t2+1)
2 (xi) 1
(t !1) t
13
[解] (i) L !1 1
(t ! a)(t ! b)
"#$
%&'=
1
a ! b L !1
1
t ! a!
1
t ! b
"#$
%&'=
1
a ! bL !1
1
t ! a
"#$
%&'
! 1
a ! b L !1
1
t ! b
"#$
%&'=
1
a ! b(e
ax! e
bx)
1
(t ! a)(t ! b)= L{e
ax,t}L{e
bx,t} = L e
a(x!u )ebudu
0
x
" ,t#$%&
'()&= L
eax ! ebx
a ! b,t
#$%
'()
L !1 1
(t ! a)(t ! b)
"#$
%&'=eax ! ebx
a ! b
としてもよい．
(ii)
L{eax,t} =
1
t ! aより，
L{xn!1eax,t} = (!1)n-1
1
t ! a"#$
%&'(n!1)
=(n !1)!(t ! a)n
∴L !1 1
(t ! a)n"#$
%&'=xn!1eax
(n !1)!
(iii) L !1 t
(t + a)n
!"#
$%&=
1
(t + a)n'1 '
a
(t + a)n
!"#
$%&=
xn'2eax
(n ' 2)!' a
xn'1eax
(n '1)!()*
+,-
∴L !1 t
(t + a)n
!"#
$%&=(n '1) ' ax
(n '1)!xn'2eax
(iv) L !1 1
(t ! a)2(t ! b)
"#$
%&'= L !1 1
(a ! b)21
t ! b!1
t - a
"#$
%&'+
1
(a ! b)1
(t ! a)2()*
+,-
=1
(a ! b)2ebx! e
ax( ) +1
a ! bxe
ax
別解
1
(t ! a)2(t ! b)= L{e
bx,t}L{xe
ax,t} = L e
b(x! y)ye
aydy
0
x
" ,t#$%&
'()&
L !1 1
(t ! a)2(t ! b)
"#$
%&'=
eb(x! y)
yeaydy
0
x
" =1
(a ! b)2ebx! e
ax( ) +1
a ! bxe
ax
(v)
t2
(t2+ a
2)2= L{cosax,t}L{cosax,t} = L cosa(x ! y)cosaydy
0
x
" ,t#$%&
'()&
∴L !1 t2
(t2+ a
2)2
!"#
$%&=sinax + ax cosax
2a
(vi)
a2
(t2+ a
2)2= L{sinax,t}L{sinax,t} = L sina(x ! y)sinaydy
0
x
" ,t#$%&
'()&
14
∴L !1 1
(t2+ a
2)2
!"#
$%&=sinax ' ax cosax
2a3
a3
(t2+ a
2)3=
a
(t2+ a
2)
a2
(t2+ a
2)2= L{sinax,t}L
sinax ! ax cosax
2a,t
"#$
%&'
=1
2aL{sinax,t}L{sinax,t} ! L{sinax,t}L{ax cosax,t}[ ]
=1
2L
sinax ! ax cosax
2,t
"#$
%&'! L sina(x ! y)aycosaydy
0
x
( ,t"#$)
%&')
*
+,,
-
.//
=1
2aL
sinax ! ax cosax
2a,t
"#$
%&'! L
(a2x2 !1)sinax + ax cosax
4a,t
"#$
%&'
(
)*
+
,-
= L(3 ! a2x2 )sinax ! 3ax cosax
8a2
,t"#$
%&'
∴L !1 1
(t2+ a
2)3
!"#
$%&=(3 ' a2x2 )sinax ' 3ax cosax
8a5
(viii) L !1 1
t ! kk=1
n
"#$%
&'(=
k=1
n
! L !11
t ! k
"#$
%&'
= ekx
k=1
n
! = ex+ e
2x+!+ e
nx=ex(1" e
nx)
1" ex
(ix) L !1t + 2
t2 ! 2t + 3
"#$
%&'= L !1
t !1
(t !1)2 + 2+
3
2"
2
(t !1)2 + 2
#$%
&%
'(%
)%
= excos 2x +
3
2! e
xsin 2x =
ex
22cos 2x + 3 2 sin 2x( )
(x) L !12t + 3
t2 ! 3
"#$
%&'= 2L !1
t
t2 ! 3
"#$
%&'+
3
3L !1
3
t2 ! 3
"#$
%$
&'$
($= 2cosh 3x + 3 sinh 3x
(x) L !1 5 + 6t
(t2+1)
2
!"#
$%&= 5L !1 1
(t2+1)
2
!"#
$%&+ 3L !1 2t
(t2+1)
2
!"#
$%&
=5
2(sin x ! x cos x) + 3x sin x
(xi)
1
(t !1) t
"#$
%&'=
1
t !11
(1
2
)*+
,-.
(1
2
)*+
,-.
t
1
2
=1
/L{e
x,t}L
1
x,t
"#$
%&'
15
∴L !1 1
(t !1) t
"#$
%&'=
1
!e(x" y) dy
y0
x
# =ex
!
e" y
y0
x
# dy =2e
x
!e"$2d$
0
x
#
erf (x) !2
"e#$2d$
0
x
%
と定義し，これを誤差関数 (error function)という．この関数は確率論や熱伝導理論に
現れる重要な関数である．そこで，
L !1 1
(t !1) t
"#$
%&'= e
x! erf (x)
とかける．
例 次の定積分をラプラス変換を用いて示せ．
cos x
x2+ a
2dx
0
!
" =#
2ae$a
( a > 0)
[解]
L{cos xu
u2+ a
2du
0
!
" , x,t} =cos xu
u2+ a
2du
0
!
"#
$%&
'(e) txdx
0
!
" = e) tx cos xu
u2+ a
2du
0
!
"#
$%&
'(dx
0
!
"
= du
0
!
" e# tx cos xu
u2+ a
2dx
0
!
" =1
u2+ a
2cos xu e
# txdx
0
!
"$
%&
'
()
0
!
" du =1
u2+ a
2
0
!
" L{cos xu, x,t}du
=1
u2+ a
2!
t
t2+ u
2
0
"
# du =t
t2 $ a2
1
u2+ a
2$
1
t2+ u
2
%&'
()*
0
"
# du
=t
t2 ! a2
1
aArc tan
u
a
"#$
%&'!1
tArc tan
u
t
"#$
%&'
(
)*
+
,-0
.
=t
t2 ! a2
/2a
!/2t
"#$
%&'=
/2a(t + a)
これは， cos xu
u2+ a
2du
0
!
" = !
2aL !1
1
t + a
!"#
$%&=
!
2ae"ax
を意味する．
∴cos xu
u2+ a
2du
0
!
" =#
2ae$ax
この式に x = 1を代入すると結果が得られる．
注意：この定積分の値は複素関函数論の留数計算からも求めることができる．また逆ラ
プラス変換の求め方には複素関函数論の留数計算の手法もあるが，ここでは割愛する．
次にラプラス変換を定数係数の線形微分方程式の解法への応用について考察する．
n階定数係数線形微分方程式：
y(n)
+ p1y(n!1)
+ p2y(n!2)
+!+ pn!1 "y + pny = q(x)
を初期条件：
16
初期条件： y(0) = c
0, !y (0) = c1,!, y
(n"1)(0) = c
n"1
の下で解く．
L{y
(k )(x),t} = t
kL{y(x),t} ! t
k!1c0+ t
k!2c1+!+ ck!1( ) (k = 1,2,!,n)
であることを念頭において，与式の両辺にラプラス変換を施す．
(t
n+ p
1tn!1
+ p2tn!2
+!+ pn )L{y(x),t} ! R(t,c0 ,!,cn!1) = L{q(x),t}
ここで， R(t,c
0,!,c
n!1)は定数
c0,!,c
n!1を含む tについての n !1次の多項式である．
L{y(x),t} =1
tn+ p
1tn!1
+ p2tn!2
+!+ pn" R(t,c0 ,!,cn!1) + L{q(x),t}( )
∴解 y(x) = L !1
1
tn+ p
1tn!1
+ p2tn!2
+!+ pn" R(t,c0 ,!,cn!1) + L{q(x),t}( )
#$%
&'(
が得られる．
例 次の微分方程式をラプラス変換を使って解け．
(i) !y + y = sin x + cos x ( y(0) = a )
(ii) !!y " !y " 2y = x2+ cosx
(iii) !!!y + 3 !!y + 3 !y + y = x2e" x
(iv) !!y + k2y = sin"x ( y(0) = 0, !y (0) = 0 )
[解] (i) y(0) = aとして，両辺にラプラス変換を施すと，
tL{y(x),t} ! a + L{y(x),t} =1
t2+1
+t
t2+1．∴
L{y(x),t} =1
t +1a +
t +1
t2+1
!"#
$%&
y(x) = L !1a
t +1+
1
t2+1
!"#
$%&= ae
' x+ sin x
(ii) y(0) = a, !y (0) = bとして，) 両辺にラプラス変換を施す．
t2L{y(x),t} ! (at + b)( ) ! tL{y(x),t} ! a( ) + 2L{y(x),t} =
2
t3+
t
t2+1
t2L{y(x),t} ! (at + b)( ) ! tL{y(x),t} ! a( ) ! 2L{y(x),t} =
2
t3+
t
t2+1
!L{y(x),t} =1
t2 " t " 2
2
t3+
t
t2+1
+ at " a + b#$%
&'(
= !1
t3+1
2t2!3
4
1
t+5
6
1
t +1+13
60
1
t ! 2!1
10
1+ 3t
t2+1
+2a ! b
3(t +1)+a + b)
3(t ! 2)
= !1
t3+1
2t2!3
4
1
t!1
10
1+ 3t
t2+1
+5 + 4a ! 2b
6
1
t +1+13 + 20a + 20b
60
1
t ! 2
17
5 + 4a ! 2b
6= c
1,13 + 20a + 20b
60= c
2 （ c
1,c
2任意の数）
とおくと，一般解
y = !x2
2+x
2!3
4!1
10sin x + 3cos x( ) + c
1e! x+ c2e
2x
をうる．
(iii) y(0) = a, !y (0) = b, !!y (0) = c として，両辺にラプラス変換を施す．
t3L{y(x),t} ! at
2+ bt + c( )( ) + 3 t
2L{y(x),t} ! (at + b)( ) + 3 tL{y(x),t} ! a( )
+L{y(x),t} =2
(t +1)3
∴
(t +1)3L{y(x),t} =
2
(t +1)3+ at
2+ bt + c( ) + 3(at + b) + 3a
!"#
$%&
=2
(t +1)3+ {a(t +1)
2+ (a + b)(t +1) + (a + 2b + c)}
!"#
$%&
∴ y = L !1 2
(t +1)6+a + 2b + c
(t +1)3
+a + b
(t +1)2+
a
(t +1)
!"#
$%&
y =x5e! x
60+ c
1e! x+ c2xe
! x+ c3x
2e! x
が得られる．
(iv) 初期条件の下で，両辺にラプラス変換を施すと，
(t2+ k
2)L{y, x,t} =
!
t2+!
2,"L{y, x,t} =
!
(t2+ k
2)(t
2+!
2)
L{y, x,t} =
!(t
2+ k
2)(t
2+! 2
)=
!k2 "! 2
1
t2+! 2
"1
t2+ k
2
#$%
&'(
( k ) ! )
!(t
2+! 2
)2
( k ) ! )
*
+,,
-,,
両辺に逆ラプラス変換を施すと，解は次のように表される．
y =
k sin!x "! sin kx
k(k2 "! 2
) ( k # ! )
sin!x "!x cos!x
2! 2 ( k # ! )
$
%&&
'&&
例 次の方程式を解け．
18
!y " 3y + 2 y(u)du0
x
# = x2 ( 初期条件： y(0) = a )
このような方程式を積分微分方程式という．
[解] 両辺にラプラス変換を施すと，
tL{y(x),t} ! a( ) ! 3L{y(x),t} +2
tL{y(x),t} =
2
t3
t +2
t! 3"
#$%&'L{y(x),t} = a +
2
t3,
i.e.,L{y(x),t} =t
t2 ! 3t + 2
a +2
t3
"#$
%&'
L{y(x),t} = a2
t ! 2!1
t !1"#$
%&'+
1
2(t ! 2)!2
t !1+1
t2+3
2t
∴ y = 2a +1
2
!"#
$%&e2x ' (a + 2)ex + x +
3
2
例 次の連立微分方程式を解け．
(I) !y + y " 3z = 0
!z " 2y + 2z = 0
#$%
(初期条件： y(0) = a, z(0) = b )
(ii) !y " z = ex
!z + y = sin x
#$%
(初期条件： y(0) = 1, z(0) = 0 )
[解] (I) 両辺にラプラス変換を施すと，
(t + 1)L{y(x),t} ! 3L{z(x),t} = a
!2L{y(x),t} + (t + 2)L{z(x),t} = b
"#$
L{y(x),t},L{z(x),t}を未知数とみて，連立 1 次方程式を解くと，
L{y(x),t} =1
(t + 4)(t !1)a(t + 2) + 3b( ) =
2a ! 3b
5
1
t + 4+3(a + b)
5
1
t !1
L{z(x),t} =1
(t + 4)(t !1)b(t +1) + 2a( ) =
!2a + 3b
5
1
t + 4+2(a + b)
5
1
t !1
2a ! 3b
5= c
1,3(a + b)
5= c
2とおくと，
y = c1e!4x
+ c2ex, z = !c
1e!4x
+2
3c2e
xが一般解である．
(ii) 両辺にラプラス変換を施すと，
19
tL{y(x),t} !1-L{z(x),t} =1
t !1
L{y(x),t} + tL{z(x),t} =1
t2+1
"
#$$
%$$
L{y(x),t},L{z(x),t}を未知数とみて，連立 1 次方程式を解くと，
L{y(x),t} =1
(t2+1)
2+1
2
t +1
t2+1
+1
2
1
t !1, L{z(x),t} =
t
(t2+1)
2+1
2
t !1
t2+1
!1
2
1
t !1
∴ y =sin x ! x cos x
2+sin x + cos x
2+1
2ex=1! x
2cos x + sin x +
1
2ex
z =x sin x
2+cos x - sin x
2!1
2ex=x !1
2sin x +
1
2cos x !
1
2ex
偏微分方程式への応用について若干触れよう．
例 偏微分方程式： !z
!x+ 4
!z
!y= "8y (x > 0, y > 0 )
を
境界条件：z = 0 (x > 0, y = 0 )
z = 2y2(x = 0, y > 0 )
!"#
の下で解け．
[解] L{z(x, y), y,t} = Z(x)とする．
L{zy (x, y), y,t} = tZ(x) ! z(x,0) = tZ(x)
微分方程式の両辺にラプラス変換施すと，
dZ
dx+ 4tZ = !
8
t2
これを 1 階線形常微分方程式と思うと，
Z(x) = e!4 tdx"
C(t) !8
t2e4 tdx"
dx"#$%
&'(= e
!4txC(t) !
2
t3e4tx#
$%&'(= C(t)e
!4tx !2
t3
境界条件から
Z(0) = L{z(0, y), y,t} = L{2y2, y,t} =
4
t3であるから,
Z(0) = C(t) !2
t3=4
t3,!C(t) =
6
t3.
∴Z(x) = !2
t3+6
t3e!4tx
20
! z(x, y) = L"1Z(x){ } = L
"1 "2
t3+6
t3e"4tx#
$%
&'(= "y2 + 3(y " 4x)2u(y " 4x)
注意：
6
t3e!4tx
= L{g, y,t}である gを計算する．
一般に L{ f (x ! a)u(x ! a), x,t} = e
!atL{ f , x,t}であることはすでに示した．．
L{(y ! 4x)2u(x ! 4x), y,t} =
2
t3e!4 t x
である．