数理統計学 ( 第九回) 尤度比検定とは?
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数理統計学 ( 第九回) 尤度比検定とは?. 浜田知久馬. 胃がんのスクリーニング検査. 正常 胃癌 計 検査の 陽性 1497 16 1513 判定 陰性 8483 4 8487 計 9980 20 10000 α エラー 1497/9980=0.15 β エラー 4/20=0.20. 問題 1 2つの検査の α,β エラー どちらを選ぶ. 検査A 正常 胃癌 計 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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数理統計学第9回 1
数理統計学 ( 第九回)尤度比検定とは?
浜田知久馬
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数理統計学第9回 2
胃がんのスクリーニング検査 正常 胃癌 計検査の 陽性 1497 16 1513
判定 陰性 8483 4 8487
計 9980 20 10000
α エラー 1497/9980=0.15
β エラー 4/20=0.20
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数理統計学第9回 3
問題 1 2つの検査の α,β エラー
どちらを選ぶ検査A 正常 胃癌 計検査の 陽性 4990 20 5010判定 陰性 4990 0 4990 計 9980 20 10000
検査B 正常 胃癌 計検査の 陽性 50 10 60判定 陰性 9930 10 9940 計 9980 20 10000
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数理統計学第9回 4
問題 2 2つの妊娠診断薬どちらを選ぶ
検査A 非妊娠 妊娠 計検査の 陽性 25 250 275判定 陰性 475 250 725 計 500 500 1000
検査B 非妊娠 妊娠 計検査の 陽性 250 475 725判定 陰性 250 25 275 計 500 500 1000
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数理統計学第9回 5
妊娠診断薬1.アルミ包装されたテストスティックを箱から取り出し , 開封してください。 2.キャップを取り、テストスティックを下に向け、 サンプラーに少なくとも 5秒間直接尿をかけ サンプラー全体を尿で濡らします。 3.青い線が、「終了確認窓 ( 丸い窓 ) 」に現われたら、 テスト終了です (約 1分 )。「終了確認窓 ( 丸い窓 ) 」に 青い線が出ていなければ、正しくテストできなかったということです . 別のテストスティックで再テストしてください。 4.「判定窓 (四角い窓 )」に色の濃い薄いに関わらず、 青い線が出ていれば陽性、出ていなければ陰性です。
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数理統計学第9回 6
妊娠診断薬この検査薬は、妊娠の早期判定の補助として
用いるもので、確定診断は、他の所見とともに医師により総合的になされるものです。
妊娠すると妊婦の尿中に分泌されるヒト絨毛性性腺刺激ホルモン (hCG) を鋭敏な抗原・抗体反応で検出する診断薬
尿が希釈され過ぎているか反対に濃縮されている場合 :妊娠してても陰性
病気の場合やホルモン値に影響を及ぼすお薬を飲んでいる場合:妊娠してなくても陽性
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数理統計学第9回 7
問題3 麻原彰晃を無罪と判定した場合につい
て α エラー, β エラーの観点から論ぜよ4 美人は必ずしも幸せな人生をおくると
は限らない.この仮説について 背理法を用いて証明せよ .
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数理統計学第9回 8
美人だけど不幸な人生を送った人達
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数理統計学第9回 9
検定の構成法
・一様最強力検定は存在しないことが多い .
・推定問題の原理的構成法 最尤法 , 最小二乗法 , モーメント法 最尤法では確率が最大になるように母数推定・ネイマン・ピアソンの基本定理 確率の比 ( 尤度比 ) に着目すればよい .
最尤法に基づいた検定 ( 尤度比検定)
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数理統計学第9回 10
尤度比検定の例ダーウィンのデータ仮説:自家受精群と他家受精群で 母平均 μが等しいか?帰無仮説:H 0: μ1= μ2
対立仮説:H 1: μ1≠μ2
σ2=32 (既知)
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数理統計学第9回 11
仮説の母数空間における表現H 0 : (μ1 ,μ2) ∈ ω0
H 1 : (μ1 ,μ2) ∈ ω1
μ1
μ2
ω0
ω1
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数理統計学第9回 12
尤度比検定統計量f (Y;θ) =f (θ; Y) Yを given として確率を θ の関数と考えたとき尤度 (likelihood) とよぶ .
maxH1 f (θ; Y) maxθ ω1∈ f (θ; Y)
───────= ─────────>cmaxH0 f (θ; Y) maxθ ω0∈ f (θ; Y)
log(maxH1 f (θ; Y))- log(maxH0 f (θ; Y)) > log c
ならば , H 0を棄却
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数理統計学第9回 13
正規分布の確率密度関数
σ 2は既知n個Y1 ,・・・,Yn のn個のデータの得られる確率f
f =f (y 1 ) ・f (y2) ・・・f (y n ) = Π f (yi)
2
2
2 2exp
2
1)(
y
yf
n
i
i
n
n
i
i
y
yf
12
2
2
12
2
2
2exp
2
1
2exp
2
1)(
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数理統計学第9回 14
尤度 ( H 0)H 0: μ1=μ2=μ
第h群(h=1:自家受精群,h=2:他家受精群)のi番目の観測値をyhi( i =1 ,2, ・・・ 15 )で表すことにする.
2
2
2 2exp
2
1)(
y
yf
2
22
1
15
1
30
2
15
12
2
2
2
10
2exp
2
1
2exp
2
1
hi
h i
i
hi
hH
y
yf
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数理統計学第9回 15
対数尤度 ( H 0)
950.1830
02
2log
2)2log(15log
2
1
15
1
2
2
1
15
1
0
2
22
1
15
1
20
yy
y
d
fd
yf
h i
hi
hi
h i
H
hi
h iH
尤度最大 ⇒ 対数尤度最大
を代入するとlogf H 0 =- 76.458
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数理統計学第9回 16
対数尤度 ( H 1) μ1≠μ2
15
12
22
2
1
15
12
11
1
1
15
12
222
15
12
2112
2
22
1
15
1
21
0log
0log
22)2log(15
2)2log(15log
i
iH
i
iH
i
i
i
i
hhi
h iH
y
d
fd
y
d
fd
yy
yf
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数理統計学第9回 17
対数尤度 ( H 1) μ1≠μ2
20.19215
17.70815
15
12
22
15
11
11
i
i
i
i
yy
yy
logf H 1 に代入すると
logf H 1 =- 33.450( 自家受精 ) - 40.438( 他家受精) =- 73.888
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数理統計学第9回 18
対数尤度比尤度比: maxH1f/ maxH0f
対数尤度比: log(maxH1f)- log(maxH0f)
2
1
15
12
22
2
22
1
15
1
2
2
22
1
15
1
2
01
2
2)2log(15
2)2log(15
loglog
h i
hhihi
hi
h i
hhi
h i
HH
yyyy
yy
yy
ffLR
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数理統計学第9回 19
対数尤度比
2
1
15
1
2
1
15
1
22
2
1
15
1
22
1
15
1
2
h i h ihhhi
h ihhhi
h ihi
yyyy
yyyyyy
群内平方和 群間平方和対数尤度比 =(全平方和-群内平方和 )/2
σ 2
= 群間平方和/2 σ 2
2
2
1
15
1
2
2
h i
h yyLR
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数理統計学第9回 20
対数尤度比
22
2/)(
2
22
2
22
2
2
221
2
2
212
2
211
2
2
2
2
1
212
2
1
15
1
2
Zyyn
yyyn
yyyn
yynyyn
yyy
yyLR h i
h
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数理統計学第9回 21
Z 検定自由度∞ ,σ既知の平均値の差の検定
H 0の下で Zは標準正規分布 ,
Z 2 は自由度 1のカイ 2乗分布にしたがう .
Zが Zαを越えるときH 0を棄却2×対数尤度比が χ2
αを越えるときH 0を棄却
268.2
15
1
15
13
192.20708.17
11 22
21
nn
yyZ
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数理統計学第9回 22
尤度の計算プログラム
data mle;set mle;do m1=16 to 22 by 0.1;do m2=16 to 22 by 0.1;s=3;f1=1/(2*3.141728*s**2)**.5 *exp(-(y1-m1)**2/s**2/2);f2=1/(2*3.141728*s**2)**.5 *exp(-(y2-m2)**2/s**2/2);logl=log(f1*f2);output;end;end;
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数理統計学第9回 23
尤度曲面
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数理統計学第9回 24
対数尤度曲面
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数理統計学第9回 25
-102.3801
-99.3811
-96.3820
-93.3830
-90.3840
-90.3840
-90.3840
-87.3849-84.3859-81.3869-78.3879 -78.3879
-75.3888
16
18
20
22
m2
16 18 20 22
m1
等高線プロット
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数理統計学第9回 26
帰無仮説 (μ1=μ2 ) の下での尤度
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数理統計学第9回 27
尤度比検定likelihood ratio test
・ネイマン・ピアソンの基本定理の拡張 確率の比に基づいた検定・検定統計量 2×[log(maxH1 f (θ; Y))- log(maxH0 f (θ; Y))]
H0 の下で DF(H1) - DF(H0) のカイ 2 乗分布に従う .
ダーウィンの例) H0 : DF=1(μ), H1 : DF=2 (μ1, μ2) 自由度 1 のカイ 2 乗分布にしたがう .
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数理統計学第9回 28
最尤推定量 (MLE) の復習
U = dlog f( θ ;y)/d θ :スコア関数とすると
MLEθ は log f( θ ;y) =0 の解となる .E[U]=0 , V [U]=E[U2]= E[-U’]=I( 情報量)V [θ]= 1/I1 ) nが大きくなれば, MLE は真値に一致する 2 ) MLE は,漸近的に正規分布にしたがう ( 漸近正規性) 3 ) 最尤推定量の分散は,漸近的に Fisher の情報量の逆数 (1/I) となる .
^ ^
^
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数理統計学第9回 29
3 種類の検定尤度比検定, Wald 検定,スコア検定例 H0: μ = μ 0 の検定
1) 尤度比検定 L(μ) - L(μ0)
山の高さの違い2) Wald 検定 μ - μ0
MLE からの隔たり
3 )スコア検定 U (μ0)
μ0における傾きが 0 に近いか
^
^
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数理統計学第9回 30
3 種類の検定の模式図
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数理統計学第9回 31
山のてっぺんを捜すには.
(1)地図で位置を
確認する
(2) 高度を
測ってみる.
(3) 傾斜角度を
測ってみる.
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数理統計学第9回 32
三蔵法師が山の最高点に
誘拐された.
最尤解を探せ.
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数理統計学第9回 33
孫悟空 尤度比検定
觔斗雲でひとっ飛び,如意棒で山の高さを測る.
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数理統計学第9回 35
Wald 検定 猪八戒
地図を頼りにひたすら掘り進む
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数理統計学第9回 36
正規分布の確率密度関数
σ 2は既知n個Y1 ,・・・,Yn のn個のデータの得られる確率f
f =f (y 1 ) ・f (y2) ・・・f (y n ) = Π f (yi)
2
2
2 2exp
2
1)(
y
yf
n
i
i
n
n
i
i
y
yf
12
2
2
12
2
2
2exp
2
1
2exp
2
1
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数理統計学第9回 37
対数尤度 (log likelihood)
2
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
2
22
222
2exp
2
1loglog
ynyy
yyyy
yfL
n
i
i
n
i
n
i
in
i
i
n
i
i
Lは μについての 2次関数尤度fの最大化⇒ 対数尤度 Lの最大化
⇒ d L/d μ= 0となる μを探す .
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数理統計学第9回 38
正規分布の場合:一標本問題分散 σ 2が既知( 3 2 =9 )の場合対数尤度:
スコア統計量:MLE:情報量:
H0: μ = μ0 の検定は?
2
2
2)(
yn
L
2
)(
yn
U
y
2n
I
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数理統計学第9回 39
尤度比検定
n
yyn
ynCL
Cyyn
CL
LL
LR
LR
2
20
2
202
2
20
0
2
2
02
)()(
2
)()(
2
)()(
))()((2
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数理統計学第9回 40
尤度比検定
H 0: μ 0= 20 の検定 L(17.708 ) = -33.450
L(20 ) = -37.827
χ 2LR=2{ L(μ) - L(μ 0)}
= 2{ -33.450 - -37.827 }^
76.83
)20708.17(15)(2
2
2
20
yn
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数理統計学第9回 41
Wald 検定
22
202
2
202
/
)(
)()(/1
)(
LRWald
Wald
n
nI
I
H 0 : μ 0= 20 の検定 (17.708 - 20) 2 = ─────── = 8.76 (32/15)
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数理統計学第9回 42
ラオのスコア検定
22
4
2
0
2
4
2
02
0
202
20020
0
)(
)(
)]([)()(
LRWald
Score
ynn
yn
I
U
nUVI
ynU
H 0 : μ 0= 20 の検定= 15 (17.708-20)2 / (32) = 8.76
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数理統計学第9回 43
3 種類の検定1 )漸近的に等価な検定 (nが大きくなると結果はほぼ等しくな
る)2 )各検定の特徴 尤度比:検定・信頼区間の 計算に反復計算が必要 Wald :対称性がある スコア:推定値が不明でも検定できる . 収束しない場合,総当たり法3)正規分布のときは完全に一致 対数尤度が2次関数となるため .
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数理統計学第9回 44
スコア検定・ Wald ,尤度比検定は ,MLE が求まらない
と検定できない.・ MLE を求めるためには反復計算が必要・スコア検定はH 0 の下でのUとIがわかれ
ば 計算できる.・多くのモデルについての計算が必要な場
合 ,総当り法では , スコア検定が行われる.・スコア検定では収束しない場合でも ,
H 0 の検定が可能
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数理統計学第9回 45
信頼区間の構成H 0: μ = μ 0を α 水準で検定して , 棄却されない範囲が信頼区間
尤度比検定ベースの 95% 信頼区間
自家受精群: 17.708±1.96×3 / 15 0.5
= 16.190 , 19.226
ny
ynLR
96.1
84.3)(
2
202
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数理統計学第9回 46
信頼区間の模式図尤度比検定で有意とならない範囲
Lが 1.92までおちる範囲
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数理統計学第9回 47
スコア検定と Wald 検定テーラー展開
正規分布の場合,近似は正確
2
))(())(()()(
2axafaxafafxf
≒
22
222
0
202
][
)(
)()(
)(
)(
)(
][')(][][
Wald
Score
V
II
I
I
U
I
UUU
≒
≒
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数理統計学第9回 48
尤度比検定と Wald 検定
2
][2
)(
2
)()()()(
2
)()()(
2
)()())(()()(
2
22
2
2
Wald
VILL
IL
IULL
≒
≒
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数理統計学第9回 49
尤度比検定と Wald 検定
対数尤度関数 L ( θ )= log f( θ )を MLEθ の周辺でテーラー展開して ,2 次式で近似できる
対数尤度は , θ の 2 次関数で近似されるWald 検定の結果は , 尤度比検定を近似する .
対数尤度比を2倍するとカイ2乗統計量正規分布の場合,近似は正確
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数理統計学第9回 50
演習2項分布についてf( π ; y ) =nC y π y( 1 - π )n - y
1) 対数尤度を示せ .2) スコア統計量を計算せよ U =d log f( π ; y )/d π3) U = 0 となる π(π の最尤推定量 ) を求めよ4) 情報量 I=E[U2] を計算せよ .5) 1/I が何をあらわしているか述べよ .6)π=π0 の下で I と U を求め , スコアカイ2乗 (U2/I) を計算せよ .