חישוב קנה-מידהחישוב קנה-מידהלומדה עצמיתלומדה עצמית

עריכה: דלית גסול, קרן שגיא, החוג לגאוגפיה ולימודי הסביבה, אוניברסיטת חיפה

הוראות לשימוש בלומדה:

המעבר בין השקופיות מתבצע בעזרת העכבר. הקישו על חיצי המעבר לפתרונות וחזרה או על גבי המסך לקידום לשקופית הבאה.

לומדה ללימוד עצמי בנושא קנה לומדה ללימוד עצמי בנושא קנה מידהמידה

הנחיותהנחיותלהקנות הינה שלפניכם הלומדה להקנות מטרת הינה שלפניכם הלומדה מטרת השטח בין מידה - קנה בחישובי השטח מיומנות בין מידה - קנה בחישובי מיומנות

למפה, בין המפהלמפה, בין המפה

שונים. מידה בקני שונות ובין מפות שונים. לשטח מידה בקני שונות ובין מפות לשטח לאחר כל דוגמה והסבר יופיע תרגיל.לאחר כל דוגמה והסבר יופיע תרגיל.

נסו תחילה לפתור את התרגיל בלי לבדוק נסו תחילה לפתור את התרגיל בלי לבדוק את בדקו מכן לאחר התשובה. את את בדקו מכן לאחר התשובה. את

..תשובתכםתשובתכם

שש אמות שש אמות קנה המידהקנה המידה"...וביד האיש "...וביד האיש קנהקנהבאמה וטפח וימד את רוחב הבנין באמה וטפח וימד את רוחב הבנין

אחד..."אחד..."(.(.55)יחזקאל מ', )יחזקאל מ',

יחידת שימש הקנה צמח של והנוקשה הארוך הגבעול נמדדו שדות )בעוד בניינים של בעיקר למדידה, בסיס במסופוטמיה, והן במצרים הן המקובל, אורכו בחבל(.

מטר לערך, בהתאם למקום 2.5-3היה שש אמות, כלומר מוטות התגלו אלה, בארצות שנערכו בחפירות, ולזמן. ומתכת. אולם השם מעיד, קנה מידה קדומים מעץ, אבן

שבמקורו נעשה קנה המידה מצמח הקנה.

הגדרת קנה מידההגדרת קנה מידה בין אורך מסוים במפה לאורך בין אורך מסוים במפה לאורך היחסהיחסקנה המידה של המפה הוא קנה המידה של המפה הוא

. . המתאים בשטחהמתאים בשטח הקשר בין מרחקים במפה לבין המרחקים התואמים על פני כדור הקשר בין מרחקים במפה לבין המרחקים התואמים על פני כדור

הארץ, מבוטא כשבר או כיחס. הארץ, מבוטא כשבר או כיחס. יחידות תואמות יחידות תואמות 10,00010,000יחידת מידה אחת על המפה יכולה לייצג יחידת מידה אחת על המפה יכולה לייצג

. . 1:10,0001:10,000בשטח. זו תהיה מפה בקנה מידה בשטח. זו תהיה מפה בקנה מידה ס"מ במפה ס"מ במפה 11 – מרחק של – מרחק של 1:100,0001:100,000 במפה בקנ"מ של במפה בקנ"מ של לדוגמה:לדוגמה:

11ס"מ בשטח, זאת אומרת למרחק של ס"מ בשטח, זאת אומרת למרחק של 100,000100,000 שווה למרחק שלשווה למרחק של ס"מ ס"מ 11 – מרחק של – מרחק של 1:50,0001:50,000 או במפה בקנ"מ של או במפה בקנ"מ של ..ק"מ בשטחק"מ בשטח

500500 ס"מ בשטח, ז"א מרחק של ס"מ בשטח, ז"א מרחק של 50,00050,000של של במפה – שווה למרחקבמפה – שווה למרחק..מטר בשטחמטר בשטח

:קנה מידה יכול להיות מיוצג בכמה דרכים שונות: קנה מידה יכול להיות מיוצג בכמה דרכים שונותקנה מידה גרפיקנה מידה גרפיקנה מידה מילוליקנה מידה מילולי או שבר מייצג או שבר מייצגקנה מידה מספריקנה מידה מספרי

קנה המידה הוא יחס קנה המידה הוא יחס מופשט המתקיים גם ללא מופשט המתקיים גם ללא

ציון יחידות המדידה.ציון יחידות המדידה.יש להקפיד על שימוש יש להקפיד על שימוש

באותה יחידת אורך בזמן באותה יחידת אורך בזמן החלוקה והמכפלה.החלוקה והמכפלה.

דוגמאות למפות בקני-מידה שוניםדוגמאות למפות בקני-מידה שונים

1:25,0001:50,0001:100,000

דוגמאות למפות טופוגרפיות מתוך אתר המרכז למיפוי ישראלדוגמאות למפות טופוגרפיות מתוך אתר המרכז למיפוי ישראלhttp://www.mapi.gov.il

מציאת הקנ"מ על פי אורך המפה ואורך מציאת הקנ"מ על פי אורך המפה ואורך 1.1.בשטחבשטח

נוסחאותנוסחאות

קנה מידה = אורך במפה

אורך )מרחק( בשטח

__________________

לדוגמה:לדוגמה: ק"מ. ק"מ. 2020 ס"מ והמרחק בשטח הוא ס"מ והמרחק בשטח הוא 2020אם ידוע שהאורך במפה הוא אם ידוע שהאורך במפה הוא

מהו הקנ"מ?מהו הקנ"מ?נציב בנוסחה:נציב בנוסחה:

קנה מידה =

אורך במפה

אורך )מרחק( בשטח

__________________= ס"מ20

ק"מ20

__________

לצורך הפתרון, יש להפוך תחילה את היחידות במונה ובמכנה לאותן היחידות. לצורך הפתרון, יש להפוך תחילה את היחידות במונה ובמכנה לאותן היחידות. להזכירכם:להזכירכם:

11 = ס"מ ס"מ100100מטר = מטר 11 = ס"מ ס"מ100,000100,000 מטר = מטר = 1,0001,000 ק"מ = ק"מ 1010 = ס"מ ס"מ1,000,0001,000,000 מטר = מטר = 10,00010,000ק"מ = ק"מ

כעת נשנה את יחידות המידה בנוסחה:כעת נשנה את יחידות המידה בנוסחה:

ס"מ20

ק"מ20

ס"מ20__________

ס"מ2,000,000

__________ ס"מ1__________==

ס"מ100,000=1 :100,000

תרגיל א:תרגיל א: ק"מ והמרחק במפה ק"מ והמרחק במפה 6.96.9מה יהיה הקנ"מ אם ידוע שהמרחק בשטח הוא מה יהיה הקנ"מ אם ידוע שהמרחק בשטח הוא

ס"מ? ס"מ?13.813.8הוא הוא

לפתרון לחצו על החץלפתרון לחצו על החץ

המכשלה העיקרית בפתרון המכשלה העיקרית בפתרון נוסחאות הקנ"מ הינה חוסרנוסחאות הקנ"מ הינה חוסר

תשומת לב להתמרה הנכונה בין תשומת לב להתמרה הנכונה בין יחידות המידה השונות.יחידות המידה השונות.

מציאת המרחק בשטח על פי נתוני הקנ"מ מציאת המרחק בשטח על פי נתוני הקנ"מ 2.2.והאורך המפהוהאורך המפה

נוסחאותנוסחאות

אורך )מרחק( בשטח = אורך במפה

קנה המידה__________________

לדוגמה: )בהמשך לנתוני התרגיל הקודם(לדוגמה: )בהמשך לנתוני התרגיל הקודם( ס"מ והקנ"מ הוא ס"מ והקנ"מ הוא 13.813.8אם ידוע שהאורך במפה הוא אם ידוע שהאורך במפה הוא

, מהו המרחק בשטח?, מהו המרחק בשטח?1:50,0001:50,000נציב בנוסחה:נציב בנוסחה:

זכרו שקנה המידה הוא שבר ויש להציבו ככזה.זכרו שקנה המידה הוא שבר ויש להציבו ככזה.

ק"מ. ק"מ.6.96.9 המרחק בשטח שהתקבל הינו המרחק בשטח שהתקבל הינו

000,501

8.13

000,501

8.13= ס"מ690,000 ק"מ6.9 13.8 * 50,000 = =

תרגיל ב:תרגיל ב: ק"מ ק"מ 1:20,0001:20,000מה יהיה המרחק בשטח אם ידוע שקנה המידה הוא הוא מה יהיה המרחק בשטח אם ידוע שקנה המידה הוא הוא

ס"מ? ס"מ?6.26.2והאורך במפה הוא והאורך במפה הוא

לפתרון לחצו על החץלפתרון לחצו על החץ

נוסחאותנוסחאותמציאת האורך במפה על פי נתוני הקנ"מ והמרחק בשטחמציאת האורך במפה על פי נתוני הקנ"מ והמרחק בשטח3.3.

אורך )מרחק( בשטחXקנה המידה אורך במפה =

לדוגמה: לדוגמה: ק"מ והקנ"מ של המפה הוא ק"מ והקנ"מ של המפה הוא 22אם ידוע שהמרחק בשטח הוא אם ידוע שהמרחק בשטח הוא

, מהו האורך על גבי המפה ?, מהו האורך על גבי המפה ?1:50,0001:50,000נציב בנוסחה:נציב בנוסחה:

ס"מ. ס"מ.44האורך על גבי המפה הוא האורך על גבי המפה הוא

50,000

1 * 2 "

50,000

1 "מס 200,000 *

50,000

200,000"מ ס 4 מק

תרגיל ג:תרגיל ג: ק"מ – מהו ק"מ – מהו 1:12,5001:12,500 מטר וקנה המידה הוא הוא מטר וקנה המידה הוא הוא 700700המרחק בשטח הוא המרחק בשטח הוא

האורך על גבי המפה? האורך על גבי המפה? לפתרון לחצו על החץלפתרון לחצו על החץ

נוסחאות התמרה ממפה למפהנוסחאות התמרה ממפה למפהלצורך התמרת מרחקים בין מפות בקני-מידה שונים נשתמש בנוסחאות הבאות:לצורך התמרת מרחקים בין מפות בקני-מידה שונים נשתמש בנוסחאות הבאות:

ב מפה של מידה קנה

א מפה של מידה קנה

ב במפה אורך

א במפה אורך

א במפה אורךב מפה של מידה קנה

במפה אורך * א מפה של מידה קנה

ב

לדוגמה: לדוגמה: ס"מ. ס"מ. 2020 נמדד קטע שאורכו נמדד קטע שאורכו 1:100,001:100,00במפה שקנה המידה שלה הוא במפה שקנה המידה שלה הוא

מה יהיה אורכו של מקטע זה על גבי מפה שקנה המידה שלה הוא מה יהיה אורכו של מקטע זה על גבי מפה שקנה המידה שלה הוא 1:50,0001:50,000??

"" שבה אנו מבקשים למצוא שבה אנו מבקשים למצוא 1:50,0001:50,000מפה א'" במקרה זה תהיה מפת מפה א'" במקרה זה תהיה מפת אתאת

..האורך במפההאורך במפה::נציב בנוסחהנציב בנוסחה

1:100,0001:100,000 ס"מ במפה בקנ"מ ס"מ במפה בקנ"מ 2020, האורך השווה ל , האורך השווה ל 1:50,0001:50,000במפת במפת יהיה יהיה

ס"מ. ס"מ.4040

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

=

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

=

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

=

1 ------ X 20

50,000 100,000 X 20 20 X 10 = --------------- = ---------------- = ----------------- 40

1 50,000 5 -------

100,000

תרגיל ד:תרגיל ד: ס"מ. מה יהיה ס"מ. מה יהיה44, נמדד קטע של , נמדד קטע של 1:100,0001:100,000במפה שקנה המידה שלה במפה שקנה המידה שלה

??1:20,0001:20,000אורכו של קטע זה במפה שקנה המידה שלה הוא אורכו של קטע זה במפה שקנה המידה שלה הוא

לפתרון לחצו על החץלפתרון לחצו על החץ

תרגיל ה:תרגיל ה: ס"מ, מה יהיה ס"מ, מה יהיה1212 נמדד קטע באורך של נמדד קטע באורך של 1:50,0001:50,000 במפה שהקנ"מ שלה במפה שהקנ"מ שלה

??1:20,0001:20,000אורכו של אותו המקטע המפה שהקנ"מ שלה הוא אורכו של אותו המקטע המפה שהקנ"מ שלה הוא

נסו לפתור תחילה על ידי היחס בין קני המידה. לאחר מכן הציבו לפינסו לפתור תחילה על ידי היחס בין קני המידה. לאחר מכן הציבו לפי. . הנוסחההנוסחה

לפתרון לחצו על החץלפתרון לחצו על החץ

מרחק בשטח לכל ס"מ מרחק בשטח לכל ס"מ במפהבמפה

קנ"מקנ"מ

1:200,0001:200,000 מטר מטר20002000 ק"מ = ק"מ = 22

1:100,0001:100,000 מטר מטר10001000 ק"מ = ק"מ = 11

1:50,0001:50,000 מטר מטר500500

1:25,0001:25,000 מטר מטר250250

1:12,5001:12,500 מטר מטר125125

1:10,0001:10,000 מטר מטר100100

מרחק בשטח לס"מ במפות בקני מידה מרחק בשטח לס"מ במפות בקני מידה שוניםשונים

לצורך חישובי הקנ"מ של מפות בקני המידה הנפוצים ביותר, מומלץ לשנןלצורך חישובי הקנ"מ של מפות בקני המידה הנפוצים ביותר, מומלץ לשנןאת הטבלה הבאה. ידיעה בעל פה של המרחק בשטח של סנטימטר אחדאת הטבלה הבאה. ידיעה בעל פה של המרחק בשטח של סנטימטר אחד

כולו החישוב את מסוימים במקרים לחסוך יכולה מידה קנה כולובכל החישוב את מסוימים במקרים לחסוך יכולה מידה קנה בכל

הצבה:הצבה:

השווה השווה 0.000020.00002אם נחלק במחשבון נקבל שבר עשרוני בערך של אם נחלק במחשבון נקבל שבר עשרוני בערך של ל:ל:

1:50,0001:50,000..במידה וההתמרה של שברים עשרוניים היא מעט בעייתית עבורנו, במידה וההתמרה של שברים עשרוניים היא מעט בעייתית עבורנו,

. התוצאה היא . התוצאה היא 690,000/13.8690,000/13.8ניתן לחלק את המכנה במונה ניתן לחלק את המכנה במונה ..1:50,0001:50,000, אך עלינו לזכור שזהו קנ"מ , אך עלינו לזכור שזהו קנ"מ 50,00050,000

לחזרה לחצו על החץלחזרה לחצו על החץ

ס"מ13.8

ק"מ6.9

__________ ס"מ13.8

ס"מ690,000

__________= = = 1 :50,0000.00002

פתרון תרגיל פתרון תרגיל א.א.

הצבה:הצבה:

ק"מ ק"מ1.241.24 מטר או מטר או 1,2401,240המרחק בשטח יהיה המרחק בשטח יהיה

לחזרה לחצו על החץלחזרה לחצו על החץ

פתרון תרגיל פתרון תרגיל ב.ב.

000,20/1

2.6

0005.0

6.2מטר 1,240 "סמ 124,000 20,000 * 6.2 או

הצבה:הצבה:

ס"מ. ס"מ.5.65.6האורך במפה יהיה האורך במפה יהיה

לחזרה לחצו על החץלחזרה לחצו על החץ

12,500

1 מטר 700 *

12,500

1 "מס 70,000 *

12,500

70,000"מס 5.6

פתרון תרגיל ג.פתרון תרגיל ג.

ס"מ. מה יהיה ס"מ. מה יהיה44, נמדד קטע של , נמדד קטע של 1:100,0001:100,000במפה שקנה המידה שלה במפה שקנה המידה שלה

??1:20,0001:20,000אורכו של קטע זה במפה שקנה המידה שלה הוא אורכו של קטע זה במפה שקנה המידה שלה הוא

הצבה:הצבה:

ס"מ. ס"מ.2020 יהיה יהיה 1:20,0001:20,000אורכו של הקטע במפה אורכו של הקטע במפה

נוכחנו שהיחס בין קנה המידה של שתי המפות הוא אותו היחס בין נוכחנו שהיחס בין קנה המידה של שתי המפות הוא אותו היחס בין האורכים על גבי שתי המפות. זהו גם המפתח לפתרון קל ומהיר יותר.האורכים על גבי שתי המפות. זהו גם המפתח לפתרון קל ומהיר יותר.

55כך, אם היחס בין קני המידה של שתי המפות הוא כך, אם היחס בין קני המידה של שתי המפות הוא ס"מ( ביחס זה יתן ס"מ( ביחס זה יתן 44(, מכפלה של הקטע המדוד )(, מכפלה של הקטע המדוד )100,000/20,000100,000/20,000))

((2020==55**44מיד את אורכו של הקטע המתבקש )מיד את אורכו של הקטע המתבקש )

לחזרה לחצו על החץלחזרה לחצו על החץ

X 20,000) במפת (אורך 100,000

120,000

1 * 4

20,000

4 * 100,000

20

4 *100"מס 20

פתרון תרגיל פתרון תרגיל ד.ד.

ס"מ, מה ס"מ, מה 1212 נמדד קטע באורך של נמדד קטע באורך של 1:50,0001:50,000במפה שהקנ"מ שלה במפה שהקנ"מ שלה יהיהיהיה

??1:20,0001:20,000אורכו של אותו המקטע המפה שהקנ"מ שלה הוא אורכו של אותו המקטע המפה שהקנ"מ שלה הוא

הצבה:הצבה:

היחס בין קני המידה שווה ליחס בין האורך על גבי המפותהיחס בין קני המידה שווה ליחס בין האורך על גבי המפות

ס"מ. ס"מ.3030 יהיה יהיה 1:20,0001:20,000אורכו של הקטע במפה אורכו של הקטע במפה

המשך בשקופית הבאה המשך בשקופית הבאה

פתרון תרגיל פתרון תרגיל ה.ה.

20,000

50,000

12

X

000,20

000,50

X

12"מס 30 12 * 2.5

כיצד נבדוק את עצמנו?כיצד נבדוק את עצמנו?

??1:20,0001:20,000 ס"מ במפת ס"מ במפת 3030מהו האורך במציאות של מהו האורך במציאות של

? ? 1:50,0001:50,000 ס"מ במפת ס"מ במפת 1212מהו האורך במציאות של מהו האורך במציאות של

האורכים זהים כך שהתשובה נכונההאורכים זהים כך שהתשובה נכונה

לחזרה לחצו על החץלחזרה לחצו על החץ

פתרון תרגיל ה. המשךפתרון תרגיל ה. המשך

1/20,000

"מס 30"מק 6 "מס 600,000 20,000 * 30

"מק 6 600,000 50,000 * 12

, הקיבוץ המאוחד, ת"א, ע"מ , הקיבוץ המאוחד, ת"א, ע"מ מפה ומצפןמפה ומצפןבירגר, ה. )תשמ"ה( בירגר, ה. )תשמ"ה( •4444

, אקדמון, , אקדמון, דפי עזר ללימוד הטופוגרפיהדפי עזר ללימוד הטופוגרפיה( ( 19901990סופר, מ. )סופר, מ. )•..2929ירושלים. ע"מ ירושלים. ע"מ

מקורות להעשרהמקורות להעשרה