Импликация и логические уравнения

Повторение ЕГЭ

Логические уравнения

12 марта 2013 г.



Повторим основные операции

¬&

∨



Повторим таблицы истинности

A B A & BИ И ИИ Л ЛЛ И ЛЛ Л Л

A B A ∨ B

И И ИИ Л ИЛ И ИЛ Л Л

A ¬AИ ЛЛ И



Проверим знание

И & (И ∨ Л ) =

И ∨ Л & И =¬ И & ¬Л ∨ Л =¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) =




И & (И ∨ Л ) = И

И ∨ Л & И =¬ И & ¬Л ∨ Л =¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) =




И & (И ∨ Л ) = ИИ ∨ Л & И =

¬ И & ¬Л ∨ Л =¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) =




И & (И ∨ Л ) = ИИ ∨ Л & И = И

¬ И & ¬Л ∨ Л =¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) =




И & (И ∨ Л ) = ИИ ∨ Л & И = И¬ И & ¬Л ∨ Л =

¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) =




И & (И ∨ Л ) = ИИ ∨ Л & И = И¬ И & ¬Л ∨ Л = Л

¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) =




И & (И ∨ Л ) = ИИ ∨ Л & И = И¬ И & ¬Л ∨ Л = Л¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) =




И & (И ∨ Л ) = ИИ ∨ Л & И = И¬ И & ¬Л ∨ Л = Л¬ И ∨ (¬Л ∨ Л & И) = И



Вспомним правила Де Моргана

Правила де Моргана ¬(A&B) = ¬A∨¬B¬(A∨B) = ¬A&¬B

¬A & ¬(¬B ∨ C) =

¬(A ∨ ¬(¬B ∨ C) =Вспомним распределительный закон:Распределительный A&(B∨C) = (A&B)∨(A&C)

A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =





¬A & ¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬¬B & ¬C) =


A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =





¬A & ¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬¬B & ¬C) =¬A & B & ¬C


A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =





¬A & ¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬¬B & ¬C) =¬A & B & ¬C¬(A ∨ ¬(¬B ∨ C) =

Вспомним распределительный закон:Распределительный A&(B∨C) = (A&B)∨(A&C)

A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =





¬A & ¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬¬B & ¬C) =¬A & B & ¬C¬(A ∨ ¬(¬B ∨ C) = ¬A & ¬¬(¬B ∨ C) =


A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =





¬A & ¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬¬B & ¬C) =¬A & B & ¬C¬(A ∨ ¬(¬B ∨ C) = ¬A & ¬¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬B ∨ C) =


A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =





¬A & ¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬¬B & ¬C) =¬A & B & ¬C¬(A ∨ ¬(¬B ∨ C) = ¬A & ¬¬(¬B ∨ C) = ¬A & (¬B ∨ C) =Вспомним распределительный закон:Распределительный A&(B∨C) = (A&B)∨(A&C)

A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)

(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =






A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) =






A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)(¬A & ¬B) ∨ (¬A & C) = ¬A & ¬B ∨ ¬A & C



ЕГЭ: правила де Моргана

Считая, что за символ ∧ обозначается конъюнкция,вычислите правильный ответ.

Правильный ответ: 1




Считая, что за символ ∧ обозначается конъюнкция,вычислите правильный ответ.Правильный ответ: 1




Считая, что за символ ∧ обозначается конъюнкция,вычислите правильный ответ.

Правильный ответ: 3




Считая, что за символ ∧ обозначается конъюнкция,вычислите правильный ответ.Правильный ответ: 3



ЕГЭ: таблицы истинности

Считая, что за символ ∧ обозначается конъюнкция, 1 — истина,0 — ложь, вычислите правильный ответ.



ЕГЭ: решение задачи

Рассмотрим 1-ый вариант и подставим его в таблицу.1 Если для всех трёх строк он подойдёт, то этот ответ и

будет являться правильным.2 Если хотя бы для одной строки 1-ый ответ не подходит,

следовательно, это — неправильный ответ. В этом случаемы переходим ко второму варианту.

Подставим 1-ый вариант в 1-ую строку:Л & Л & И должно равняться (согласно таблице) Истине.Однако: Л & Л & И = Л & И = Л.Таким образом, получаем противоречие. Следовательно,первый ответ заведомо неверный.Аналогично находим, что второй ответ не подходит ктретьей строке, третий ответ не подходит ко второй строке.Следовательно, остаётся четвёртый.Подстановкой убеждаемся, что 4-ый ответ подходит во всестроки.



Задача 2 на таблицу истинности



Импликация



Таблица истинности для конъюнкции

Импликация — ещё одна логическая операция, котораярасшифровывается как следовательно.Обозначение: A => B. Выполняется после всех основныхопераций.

A B A => BИ И ИИ Л ЛЛ И ИЛ Л И



Правило импликацииИз лжи может следовать всё, что угодно.



{И & И => Л} = {И => Л = Л}



Задача на импликацию

Найти максимальное целое X, при котором истинновысказывание:

(90 < X · X ) => (X < (X − 1))

Решение: Рассмотрим внимательно правую часть. Онавсегда ложна, так как X всегда больше X − 1.Следовательно, левая часть обязана быть тоже ложной,так как если бы она была истинной, то всё высказываниебы стало ложным (И=>Л=Л).До каких пор 90 больше X 2?До 9 включительно, так как 102 = 100 > 90.При X ≥ 10 левая часть станет истинной, а высказываниестанет ложным.Следовательно, ответ: X = 9.





(90 < X · X ) => (X < (X − 1))

Решение: Рассмотрим внимательно правую часть. Онавсегда ложна, так как X всегда больше X − 1.

Следовательно, левая часть обязана быть тоже ложной,так как если бы она была истинной, то всё высказываниебы стало ложным (И=>Л=Л).До каких пор 90 больше X 2?До 9 включительно, так как 102 = 100 > 90.При X ≥ 10 левая часть станет истинной, а высказываниестанет ложным.Следовательно, ответ: X = 9.





(90 < X · X ) => (X < (X − 1))

Решение: Рассмотрим внимательно правую часть. Онавсегда ложна, так как X всегда больше X − 1.Следовательно, левая часть обязана быть тоже ложной,так как если бы она была истинной, то всё высказываниебы стало ложным (И=>Л=Л).

До каких пор 90 больше X 2?До 9 включительно, так как 102 = 100 > 90.При X ≥ 10 левая часть станет истинной, а высказываниестанет ложным.Следовательно, ответ: X = 9.





(90 < X · X ) => (X < (X − 1))

Решение: Рассмотрим внимательно правую часть. Онавсегда ложна, так как X всегда больше X − 1.Следовательно, левая часть обязана быть тоже ложной,так как если бы она была истинной, то всё высказываниебы стало ложным (И=>Л=Л).До каких пор 90 больше X 2?

До 9 включительно, так как 102 = 100 > 90.При X ≥ 10 левая часть станет истинной, а высказываниестанет ложным.Следовательно, ответ: X = 9.





(90 < X · X ) => (X < (X − 1))

Решение: Рассмотрим внимательно правую часть. Онавсегда ложна, так как X всегда больше X − 1.Следовательно, левая часть обязана быть тоже ложной,так как если бы она была истинной, то всё высказываниебы стало ложным (И=>Л=Л).До каких пор 90 больше X 2?До 9 включительно, так как 102 = 100 > 90.

При X ≥ 10 левая часть станет истинной, а высказываниестанет ложным.Следовательно, ответ: X = 9.





(90 < X · X ) => (X < (X − 1))

Решение: Рассмотрим внимательно правую часть. Онавсегда ложна, так как X всегда больше X − 1.Следовательно, левая часть обязана быть тоже ложной,так как если бы она была истинной, то всё высказываниебы стало ложным (И=>Л=Л).До каких пор 90 больше X 2?До 9 включительно, так как 102 = 100 > 90.При X ≥ 10 левая часть станет истинной, а высказываниестанет ложным.

Следовательно, ответ: X = 9.





(90 < X · X ) => (X < (X − 1))

Решение: Рассмотрим внимательно правую часть. Онавсегда ложна, так как X всегда больше X − 1.Следовательно, левая часть обязана быть тоже ложной,так как если бы она была истинной, то всё высказываниебы стало ложным (И=>Л=Л).До каких пор 90 больше X 2?До 9 включительно, так как 102 = 100 > 90.При X ≥ 10 левая часть станет истинной, а высказываниестанет ложным.Следовательно, ответ: X = 9.



Задачи на импликацию

1 Найдите максимальное положительное целое число X , прикотором истинно высказывание:

((X − 1) < X ) => (40 > X · X )

2 Найдите наименьшее целое положительное число X , прикотором ложно высказывание:

¬(X · X < 9) => (X > (X + 2))

3 Найдите наименьшее целое положительное число X , прикотором ложно высказывание:

(4 > −(4 + X ) · X )) => (30 > X · X )


Импликация и логические уравнения

Education