زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

MIMOتحقق سيستم هاي

: با ماتريسي از توابع تبديل بصورت زير نمايش داده مي شودMIMOيك سيستم

)()(

)(...)(

)(

1

111

sgsg

sgsg

sG

mll

m

)()(

)(...)(

)(

1

111

sgsg

sgsg

sG

mll

m

.می باشد تعداد خروجي L و تعداد وروديmدر آن

)(

)(

sa

sbg

ij

ijij )(

)(

sa

sbg

ij

ijij )2(

...

...

01

1

02

21

1

ijiniji

in

ijnijn

nijn

asas

bsbsb ii

)2(

...

...

01

1

02

21

1

ijiniji

in

ijnijn

nijn

asas

bsbsb ii

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

در سيس3تم هاي چن3د متغ3يره روش3هايي وج3ود دارد ك3ه مي توان3د نهايت3ا; ي3ك تحق3ق غ3ير مي نيم3ال را ب3ه تحق3ق

مي نيمال تبديل نمايد.

mj

sa

sb

sa

sb

sG

i

ij

i

ij

,...,1

)(

)(

)(

)(

)(

mj

sa

sb

sa

sb

sG

i

ij

i

ij

,...,1

)(

)(

)(

)(

)(

iniini

nii asassa 0

11 ...)(

iniini

nii asassa 0

11 ...)(

ijniijniij bsbsb 0

11 ...)(

ijniijniij bsbsb 0

11 ...)(

(3)

معادله ( :3تحقق است) زير بصورت

u

B

B

B

x

A

A

A

X

mn

2

1

2

1

......00

0...00

u

B

B

B

x

A

A

A

X

mn

2

1

2

1

......00

0...00

xCCCY l )...( 21 xCCCY l )...( 21

in

i

i

i

ia

a

a

A

1

1

0

001

0010

...001

...000

in

i

i

i

ia

a

a

A

1

1

0

001

0010

...001

...000

miin

iin

miii

miii

i

bb

bbb

bbb

B

11

1

12

11

1

02

01

0

...

...

miin

iin

miii

miii

i

bb

bbb

bbb

B

11

1

12

11

1

02

01

0

...

...

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

ii C0

00

00

C

ii C0

00

00

C

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

1

1

1

13

2

1

1

)(

ss

sssG

1

1

1

13

2

1

1

)(

ss

sssGمثال :

1

1

1

1)3()1(

)1(2

)1)(3(

3

)(

ss

ss

s

ss

s

sG

1

1

1

1)3()1(

)1(2

)1)(3(

3

)(

ss

ss

s

ss

s

sG34)( 2

1 sssa 34)( 21 sssa

1)(2 ssa 1)(2 ssa

22)(

3)(

12

11

ssb

ssb

22)(

3)(

12

11

ssb

ssb

1)(

1)(

22

21

sb

sb

1)(

1)(

22

21

sb

sb

141

301122

AA 141

301122

AA

21

232

111

20

10

1bb

bbB

21

232

111

20

10

1bb

bbB

1120

102 bbB 112

0102 bbB

1

0

00

1021 CC

1

0

00

1021 CC

)( 21 CCC )( 21 CCC

100

010C

100

010C

2

133 0

0

A

AA

2

133 0

0

A

AA

11

21

23

B

11

21

23

B

21

231B

21

231B

112 B 112 B

41

3022A

41

3022A

111 A 111 A

100

040

030

33A

100

040

030

33A

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

پايداري » « تحليل

پاي33333داري همانن33333د موض33333وعات كنترل پ33333ذيري و مش3اهده پذيري ي3ك خاص3يت كيفي از سيس3تم مهندس3ي

ب33دون ش33ك مهم33ترين مشخص33ه ي33ك سيس33تم اس33ت. نكته اي ك33ه ح33ائز كن33ترل مي توان33د پاي33داري آن باش33د.

اهميت اس333ت آن اس333ت ك333ه در سيس333تم هاي عملي موض33وع ط33راحي ج33دا از درنظ33ر گ33رفتن موض33وع

پايداري نيست.درج3ة پيچي3دگي تحلي3ل پاي3داري سيس3تم هاي دين3اميكي

ب33ه سيس33تم هاي LTIب33ا تغي33ير م33دلهاي سيس33تم از بس3رعت تغي3ير مي كن3د و ل3ذا بدس3ت TVغ3يرخطي ي3ا

آوردن روش3هايي ك3ه بتوان3د ب3ه اين سيس3تم ها پاس3خگو باشند از اهميت ويژه اي برخوردار است.

مقدم33ه :

تعاريف اغتشاشي پايداري : هرگونه و ورودي اعمال بدون سيستمي اگر كلي بطور

را سيستم است مانده باقي حالت يك در كه باشد خروجي دارايتعادل در .حالت مي گوئيم

يك تأثير تحت زمان از مستقل خطي كنترل سيستم يك اگر حالبازگردد تعادل حالت به باالخره آن خروجي و گيرد قرار اغتشاش

را مي خوانيم. پايدار سيستمسيستم اگر مقابل و LTIدر گرفته قرار اغتشاش تأثير تحت

را سيستم آنگاه كند نوسان هميشه براي ناپايدارخروجيمث33المي خوانيم.

:G,F,E,A فيمابين .D,Bو گويند تعادل نقاط را

مانند .F,Aنقاطي هستند ناپايدار نقاط

مانند .E,Gنقاطي هستند پايدار نقاط

( D,Bفيمابين . باز تعادل نقطه به مي گوييم طبيعي پايدار نقاط ( مي ايستد دوباره رفته جلو كمي اما نمي گردد

ديدگاه دو مطرح لياپونف را :مي كند

روش333هايي هس333تند ك333ه ب333ه ح333ل :روش دوممع33ادالت سيس33تم بس33تگي نداش33ته و ب33دين علت است كه از روشهاي كاربردي محسوب مي شوند.

روشهاي موجود به پاسخ سيستم بستگي دارند :روش اول .

:تعاريف

: حالت تعادل

)(tAxx )(tAxx L I Tسيستم اگراگر باشد : اگر Aآنگاه و تعادل حالت يك تنها باشد نباشد Aناويژه تكين

. داشت خواهيم تعادل حالت بيشماري حالتهاي تعداد تعيين براي) ديفرانسيل معادله كه نيست الزم حل) 1تعادل بلكه كنيم حل را

)2. بود) خواهد كافي

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

لياپونف ديد از :پايداريشعاع با كروي ناحيه يك اينجا بصورت kدر تعادل حالت ير ز حول

کنيم : می مشخص

kxx e kxx e

21222

211 ...)()( eee xxxxxx 212

222

11 ...)()( eee xxxxxx

لياپونف ديد از مجانبي : پايداري

در عم33ل پاي33داري مج33انبي مهم33تر از پاي33داري مطل33ق اس33ت. همچ3نين از آنج3ا ك3ه پاي3داري مج3انبي ي3ك مفه3وم موض3عي اس3ت ص3رف برق3رار ك3ردن پاي3داري مج3انبي ب3ه معن3اي درس3ت ك3ار

كردن سيستم نمي باشد.

تذکر :

اگ3ر ك3ه انحراف3ات اولي3ه ح3الت سيس3تم از ح3الت تع3ادل زي3اد باش3د آنگ33اه پاي33داري مج33انبي اطالع33ات زي33ادي را از رفت33ار سيس33تم نخواه3د داد و در واق3ع ب3ا انح3راف زي3اد ممكن اس3ت سيس3تم ح3تي

بزرگ3ترين ناپاي3دار ش3ود. بن3ابراين در عم3ل عموم3ا; داش3تن ان3دازة الزم اس33ت ك33ه ب33ه اين بزرگ33ترين مح33دودة پاي33داري مج33انبي

مي گوييم.حوزه جذبمحدودة پايداري،

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

مقياس بزرگ مجانبي پايداري 3 (Enlarge ( :

اگ3ر پاي3داري مج3انبي ب3ه ازاي هم3ة حالته3اي ش3روع مس3يرهاي برق33رار باش33د آنگ33اه ح33الت تع33ادل را پاي33دار مج33انبي ب33زرگ

مقياس مي گوييم.

:ناپايداري

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

اگ3ر ك3ه نم3ايش سيس3تم برحس3ب توص3يف ورودي 3 خ3روجي داده BIBO : پايداري قاب3ل ط3رح اس3ت. باي3د توج3ه BIBOش3ده باش3د آنگ3اه بحث پاي3داري

داش3ت ك3ه توص3يف ورودي 3 خ3روجي سيس3تم فق3ط هنگ3امي قاب3ل انج33ام اس33ت ك33ه سيس33تم داراي ش33رايط اولي33ه نب33وده و خ33روجي

سيستم تنها توسط ورودي اعمال شده تعيين گردد.

تعريف : گوين3د اگ3ر و BIBO را پاي3دار ب3دون ش3رايط اولي3ه ي3ك سيس3تم

باشد.خروجي آن محدود ورودي محدودفقط اگر براي هر تذکر :

شايان توج3ه اس3ت ك3ه اگ3ر ش3رايط اولي3ه را وارد ك3نيم ممكن اس3ت باي3د توج3ه داش3ت ك3ه را از دس3ت بده3د.BIBOك3ه سيس3تم پاي3داري

در تع3اريف ارائ3ه ش3ده در ب3اال م3ا پاي3داري سيس3تم را ب3دون اعم3ال درنظر گرفتيم.)حالت صفر(ورودي

Totallyيك سيس3تم دين3اميكي خطي را ك33امال; پاي33دار مي گ3وئيم )stable ب3راي ه3ر ش3رط اولي3ه ح3الت و ه3ر ورودي ( اگ3ر و فق3ط اگ3ر

مح3دود، خ3روجي و كلي3ه متغيره3اي ح3الت سيس3تم مح3دود باش3د. از س3اير پاي3داري هاي ارائ3ه ش3ده س3خت تر اس3ت. Tش3رايط پاي3داري

در اينج3ا ن3ه تنه3ا خ3روجي باي3د مح3دود باش3د بلك3ه متغيره3اي ح3الت اين مح3دوديت ن3ه تنه3ا باي3د ب3راي ح3الت ص3فر هم باي3د مح3دود باش3ند.

بلكه بايد براي كليه شرايط اوليه سيستم برقرار باشد.

: Tپايداری

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

نمايي :پايداري

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

سيستم هاي LTIپايداري

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

داد نشان زير بصورت مي توان را اوليه حالت هر به سيستم پاسخ :آنگاه

n

ii

ti Veutx i

1

)(

n

ii

ti Veutx i

1

)(

سيستم هاي ناپذير براي اضافي قطري قسمتهاي شامل عبارت اينباشد :بصورت می زير

)(exp tt ik )(exp tt i

k 1قضيه زير را درنظر بگيريد.LTIسيستم خطي :

)()( tAxtx )()( tAxtx

اگر : فقط و اگر است لياپونف مفهوم به پايدار سيستم اين

زمستان 1382

ويژه الف : مقادير حقيقي Aكلية .غيرمثبتقسمتهاي باشند داشته: ويژه ب مقادير از دسته قسمتهاي Aآن كه

هستند صفر آن چند ،حقيقي ساده صفرهايمشخصه معادله . Aجمله اي در ديگر بعبارت باشند

شدن تبديل بلوك Aصورت درجة جردن، بلوك بهقسمتهاي كه ويژه اي مقدار با متناظر جردن

است، صفر آن .باشد يكحقيقي

: اثبات

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

ب3ه نح3وي وج3ود دارد Tفرض مي ك3نيم ك3ه ي3ك م3اتريس ن3اويژه را بفرم كانونيكي جردن مي برد.Aكه

)(1 TeTe Att )(1 TeTe Att

)(1 TeTe AtAt )(1 TeTe AtAt

:2قضيه

)(tAxx )(tAxx

پايدار مجانبي است اگر و فقط اگر پايداري مجانبي در كل باشد.سيستم زير

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

:3قضيه پاي3دار مج3انبي اس3ت اگ3ر و فق3ط اگ3ر كلي3ه سيس3تم خطی زي3ر

داراي قسمتهاي حقيقي منفي باشند.Aمقادير ويژه

)(tAxx )(tAxx

)(tAxx )(tAxx

:4قضيه

پايدار مجانبي است نهايي است اگر و فقط اگر پايدار مجانبي باشد.سيستم خطی زير

:5قضيه

: اگر و فقط اگر پايدار استمفهوم لياپانوفسيستم خطی به

3 قس3متهاي حقيقي غ3ير مثبت داش3ته Aكلي3ه مق3ادير وي3ژه ال3ف .باشند )قسمت حقيقي منفي يا صفر (

3 كه قسمتهاي حقيقي آنها صفر Aآن دسته از مقادير ويژه ب A (minimalهستند، صفرهاي ساده چند جمله اي مشخصه

Polynomial) باشند.

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

iniiA )(ˆ)( 1

iniiA )(ˆ)( 1

:مثال

4n8n

0

1

0

1

000

100

000

001

A 11

1

1

1

1

1

1

1

1

4n8n

0

1

0

1

000

100

000

001

A 11

1

1

1

1

1

1

1

1

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

12

12

200

010

011ˆ

21

21

nn

nnA

12

12

200

010

011ˆ

21

21

nn

nnA

:مثال

xx

100

000

010

xx

100

000

010

:مثال

1

1

2

2

2

2

2

1

n

n

n

n

1

1

2

2

2

2

2

1

n

n

n

n

System is Unstable

System is Stable

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

:6قضيه

زي3ر خطی پاي3دار مج3انبي اس3ت اگ3ر و فق3ط اگ3ر كلي3ه سيس3تم داشته باشند.اكيدا; منفي قسمتهاي حقيقي Aمقادير ويژه

)(tAxx )(tAxx

در خصوص Routhبا استفاده از آزمونهاي كالسيك شيوه .پايداري سيستم تحقيق كنيم

لياپونف : دوم روش

بدون اس33تفاده از ح33ل مع33ادالت و همچ33نين ب33دون بدس33ت آوردن است اما بالعكس آن صحيح نيست.A مقدار ويژه G(s)مي دانيم هر قطب معادله مشخصه در خصوص پايداري بحث كنيم.

شرط پايداري: اس3ت BIBO پاي3دار )G)Sسيس3تم تعري3ف ش3ده ب3ا م3اتريس تب3ديل قس3متهاي حقيقي )G)Sاگ3ر و فق3ط اگ3ر قطبه3اي ه3ر عنص3ر

منفي داشته باشد.

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

ب3ا ش3رايط اولي3ه ص3فر پاي3دار مج3انبي باش3د خطی اگ3ر سيس3تم اس3ت. وليكن پاي3داري BIBOآنگ3اه پاس3خ ح3الت ص3فر آن ن3يز پاي3دار

BIBO پاس3خ ح3الت ص3فر ب3ر پاي3داري مج3انبي ح3الت ص3فر داللت نمي كند.

:نکته

uxx :مثال

1

0

11

01 uxx

1

0

11

01

xy )11( xy )11(

BIBOresponsestateZeroS

BASICSG

.)()(1

11 BIBOresponsestateZeroS

BASICSG

.)()(1

11

)1()1( SSASI )1()1( SSASI not A.S.Y Stable

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

:6قضيه خطی، اگر زير سیستم عبارات آنگاه باشند مشاهده پذير و كنترل پذير

: هستند معادل

1( . است پايدار n كامال سيستم

صفر )2 حالت .BIBOپاسخ است

3( . است مجانبي پايدار صفر حالت پاسخ

4( . هستند منفي حقيقي قسمتهاي داراي تبديل ماتريس قطبهاي كليه

ويژه )5 مقادير .Aكليه مي باشند منفي حقيقي قسمتهاي داراي

زمستان 1382

لياپونف دوم :روش

روش دوم ي3ا مس3تقيم لي3اپونف ب3دون بدس3ت آوردن پاي33داري سيس33تمهاي )x)t پاس33خ سيس33تم يع33ني

را تع3333يين مي كن3333د. اين روش خطي و غ3333يرخطيب3رعكس روش اول ك3ه تع3يين مق3دار وي3ژه مع3ادالت

ب33دون ح33ل مع33ادالت خطي ال33زامي اس33ت، ب33وده و مي توان33د ب33ه تع33يين پاي33داري ب33پردازد. اين سيس33تم

روش ب33ا ج33امعيتي ك33ه دارد ب33راي سيس33تمهاي ب33ا ، خطي / LT / LTIورودي )ب33333دون ورودي (

غ33يرخطي قاب33ل اعم33ال اس33ت. در اين روش ب33ا ب33ه تع33يين پاي33داري x(v)انتخ33اب ي33ك ت33ابع اس33كالر

ش3رايط لي3اپونف x(v)سيس3تم مي پ3ردازيم. وق3تي ك3ه را ب333رآورده كن333د آن را ت333ابع كاندي333داي لي333اپونف

مي ناميم.

Dr. H. Bolandi

موج3ود در اين روش آن اس3ت ك3ه مش3كل اساس3ي ب3ه راح3تي مس3ير تع3يين ي3ك ت3ابع لي3اپونف مناس3ب

نمي باش3د. و ع3دم ب3رآورده ش3دن ش3رايط پاي3داري ب3هپاي3داري ي3ا ع3دم وج3ود ي3ك ت3ابع كاندي3داي معن3اي ع3دم

لياپونف نيست.

زمستان 1382

تعاريف

: اسكالر توابع بودن مثبت معين

، كه در برگيرن33ده مب33دأ فض33اي ح33الت اس33ت را در ناحيه v(x)تابع اسكالر P.Dمي گوييم كه هرگاه به

ازاي تم3ام حالته3اي غيرص3فر داشته باشيم :

0)(

)0(

xV

V

0)(

)0(

xV

V

منفیمعين: اسكالر توابع بودن،- v(x)می گوييم، هرگاه معين منفی را v(x)تابع اسكالر

معين مثبت باشد .

مثبت معين PSDنيمه

گوييم هرگاه جزء در مبدأ و در برخي حالتهاي ديگر ناحيه PSD را v(x)تابع اسكالر

مثبت باشد.كه تابع صفر است در بقيه حالتهاي ناحيه

زمستان 1382

معين N.S.D منفینيمه

باشد.PSD , -v(x( گوييم اگر كه N.S.D را x)v(تابع اسكالر

اسكالر بودن نامعين

.هم مقادير مثبت و هم مقادير منفي را دارا باشد آنرا نامعين مي گوييم در ناحيه v(x)اگر تابع اسكالر

:مثال22

21)( xxxv

22

21)( xxxv DPxv

xv

v .)(

0)(

0)0(

DPxv

xv

v .)(

0)(

0)0(

:مثال

22

21 2)( xxxv

22

21 2)( xxxv DPxv

xv

v.)(

0)(

0)0(

DPxv

xv

v.)(

0)(

0)0(

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

:مثال2

21 )()( xxxv 2

21 )()( xxxv DSPxxexceptxv

v..

0)(

0)0(

21

DSP

xxexceptxv

v..

0)(

0)0(

21

:مثال2

2121 )23()( xxxxv

221

21 )23()( xxxxv

0)(

0)0(

xv

v0)(

0)0(

xv

v

:مثال

221 )()( xxxv

221 )()( xxxv DSPxv

xxexceptxv

v..)(

0)(

0)0(

21

DSPxv

xxexceptxv

v..)(

0)(

0)0(

21

نامعين

درجه 2صورتهاي :

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi